1、第3节圆的方程1圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r 2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)drM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)确定圆的几何要
2、素是圆心与半径( )(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆( )(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.( )答案：(1)(2)(3)(4)小题查验1圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：D因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22，选D.2(2020海口调研)圆x2y22x
3、8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a( )ABC. D2解析：A圆的标准方程为(x1)2(y4)24，圆心坐标为(1,4)又圆心到直线axy10的距离为1，由点到直线的距离公式，可得1，a.故选A.3(2020合肥模拟)已知圆C：(x6)2(y8)24，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为( )A(x3)2(y4)225B(x3)2(y4)2100C(x3)2(y4)225D(x3)2(y4)225解析：A由题意可知： O(0,0)，C(6，8)，则圆心坐标为(3，4)，圆的直径为10，据此可得圆的方程为(x3)2(y4)22，即(x3)2(y4)225.故选A.4若点(1,1
4、)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_.解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24.即a21，故1a0)，则圆心到直线2xy0的距离d，得a2，半径r3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y292已知圆M与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线yx2上，则圆M的标准方程为_.解析：由题意，圆心在yx2，设圆心为(a,2a), 因为圆M与直线xy0及xy40都相切， 则圆心到两直线的距离相等，即，解得a0，即圆心(0,2)，且r，所以圆的方程x2(y2)22.答案：x2(y2)22考点二与圆有关的最值问题(多维探究)命题
5、角度1斜率型最值问题1已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.命题角度2截距型最值问题2已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解：设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1
6、，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.命题角度3距离型最值问题3(1)已知圆C：(x2)2(ym4)21，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是_.(2)若P是圆C：(x3)2(y3)21上任一点，则点P到直线ykx1距离的最大值为()A4B6C31 D1解析：(1)圆C：(x2)2(ym4)21表示圆心为C(2，m4)，半径r1的圆，求得|OC|，m4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是(|OC|minr)211.(2)易知圆心坐标为(3,3)，半径r1.由题意，知直线ykx1恒过定点(0，1)，所以圆心到定点(0，1)的距离为5，所以圆上任一点
7、P到直线ykx1的距离的最大值为516，故选B.答案：(1)1(2)B命题角度4利用对称性求最值4一束光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路径的长是()A4 B5C31 D2解析：A易知点A关于x轴的对称点为A1(1，1)，圆心为C(2,3)，所以|A1C|5，所以所求最短路径长为514.故选A.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的
8、最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题跟踪训练已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值与最小值解：(1)方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24.表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得2，解得k，所以的最大值为，最小值为.(2)设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然
9、当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取得最大值或最小值，如图所示由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为62，最小值为62.1若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24解析：D因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b.选D.2(2020东莞调研)已知圆Cx2y2mx40上存在两点关于直线xy3
10、0对称，则实数m的值为( )A8B4C6 D无法确定解析：C圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.3圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的和是( )A30 B18C10 D5解析：C由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线xy140的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的和为10.4如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A(1,1) B(1，1)C(1,0) D(0，1)解析：Dr，当k0时，r最大，此时圆的方程为x2(y1)21，所以圆心坐标为(
11、0，1)选D.5(2020三明质检)已知A(3,0)，B(0,4)，点C在圆(xm)2y21上运动，若ABC的面积的最小值为，则实数m的值为()A.或 B或C或 D或解析：D直线AB：1，即4x3y120若ABC的面积最小，则点C到直线AB的距离d最短，dmin1，又ABC的面积的最小值为，5即|4m12|10m或，故选D.6已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值为_.解析：设k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率则kxy2k10，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值由1，解得k.故的最大值为.答案：7设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动
12、点，则|PQ|的最小值为_.解析：如图所示，圆心M(3，1)到定直线x3上点的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.答案：48已知圆O：x2y28，点A(2,0)，动点M在圆上，则OMA的最大值为_.解析：设|MA|a，因为|OM|2，|OA|2，由余弦定理知cosOMA2，当且仅当a2时等号成立所以OMA，即OMA的最大值为.答案：9已知圆C经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)(1)写出圆C的标准方程；(2)过点P(2，1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长解析：(1)由题意知，圆C的半径r，所以圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.(2)由题意知切线斜
13、率存在，故设过点P(2，1)的切线方程为y1k(x2)，即kxy2k10，则，所以k26k70，解得k7或k1，故所求切线的方程为7xy150或xy10.由圆的性质易得所求切线长为2.10在平面直角坐标系xOy中，经过函数f(x)x2x6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.(1)求圆C的方程；(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程解析：(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，函数f(x)x2x6的图象与两坐标轴交点为(0，6)，(2,0)，(3,0)，由，解得，所以圆的方程为x2y2x5y60.(2)由(1)知圆心坐标为，若直线经过原点，则直线l的方程为5xy0；若直线不过原点，设直线l的方程为xya，则a2，即直线l的方程为xy20.综上可得，直线l的方程为5xy0或xy20.
