1、第3节直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面2夹在两个平行平面间的平行线段长度相等3经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行4两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例5如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行6如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括
2、号里打“”，错误的打“”(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行( )(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行( )(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1下列命题中正确的是( )A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，
3、b，则b解析：D根据线面平行的判定与性质定理知，选D.2下列命题中，正确的是( )A若ab，b，则aB若a，b，则abC若a，b，则abD若ab，b，a，则a解析：DA中还有可能a，B中还有可能a与b异面，C中还有可能a与b相交或异面，只有选项D正确3(2019蚌埠模拟)对于空间的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是( )A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn解析：D对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故选D.4若直线ab
4、A，a平面，则b与的位置关系是_.解析：因为a，a与平面没有公共点，若b，则A，又A，此种情况不可能b或b与相交答案：b或b与相交5教材改编如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.解析：连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行考点一平行关系的基本问题(自主练透) 题组集训1设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既
5、不充分也不必要条件解析：A若m，n，则m且n；反之若m，n，m且n，则与相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要条件2已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，原命题正确，故D项正确3(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命
6、题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析：当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.答案：解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确考点二线面平行的判定与性质(多维探究)命题角度1用线线平行证明线面平行1(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的
7、底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离解： (1)证明：连结B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C，又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH，从而CH平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH，从而点C到平面C1DE的距离为.命题角度2用线面平行证明线线平行2如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异
8、于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面(1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EFAB.证明：(1)E是半圆上异于A，B的点，AEEB.又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CBAB，CB平面ABE.又AE平面ABE，CBAE.BCBEB，AE平面CBE.又EC平面CBE.AEEC.(2)CDAB，AB平面ABE.CD平面ABE.又平面CDE平面ABEEF.CDEF.又CDAB.EFAB.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理
9、(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)跟踪训练 (2020桂林、贺州、崇左二联)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，PAAD2，四边形ABCD满足BCAD，ABAD，ABBC1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且(0)(1)求证：EF平面PAD；(2)当时，求点D到平面AFB的距离思维导引(1)由，得EFBC，由BCAD，得EFAD，即可证得EF平面PAD；(2)根据等体积法求点到平面的距离解：(1)(0)，EFBC.BCAD，EFAD.又EF平面PAD，AD平面PAD，EF平面PAD.(2)，F是PC的中点，在RtPAC中，PA2，AC，PC，PF
10、PC.平面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC，PAAC，PA平面ABCD，PABC.又ABAD，BCAD，BCAB，BC平面PAB，BCPB，在RtPBC中，EFPC.连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，在等腰三角形BAF中，BFAF，AB1，SABF，又SABD1，点F到平面ABD的距离为1，由VFABDVDAFB，得11d，解得d，即点D到平面AFB的距离为.考点三面面平行的判定与性质(师生共研)典例如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证
11、明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.互动探究在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1AC
12、C1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互
13、转化跟踪训练如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，证明：B1D1l.证明：所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD平面CD1B1.所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1BB，所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面B1D1C直线l，平面ABCD平面A1BD直线BD，所以直线
14、l直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1l.1若直线l不平行于平面，且l，则( )A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C与直线l至少有两个公共点D内的直线与l都相交解析：B因为l，直线l不平行于平面，所以直线l只能与平面相交，于是直线l与平面只有一个公共点，所以平面内不存在与l平行的直线2已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是( )A存在一条直线b，ab且bB存在一条直线b，ab且bC存在一个平面，a且D存在一个平面，a且解析：C在A，B，D中，均有可能a，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都
15、平行于另一平面，故C正确3如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交 D以上均有可能解析：B在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1.AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC.过A1B1的平面与平面ABC交于DE，DEA1B1，DEAB.4若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有( )A0条 B1条C2条 D0条或2条解析：C如图设平面截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EFGH，EF平面BCD，GH平面BCD，所以EF平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD平面BCD
16、CD，则EFCD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，则CD平面EFGH，同理AB平面EFGH，所以该三棱锥与平面平行的棱有2条，故选C.5(2020杭州二中期中考试)如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，EFDG，且ABDE，DG2EF，则()ABF平面ACGDBCF平面ABEDCBCFGD平面ABED平面CGF解析：A取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DEFM，因为平面ABC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADEBDE，所以ABDE，所以ABFM.又ABDE，所以ABFM，所以四边形ABFM
17、是平行四边形，即BFAM.又BF平面ACGD，所以BF平面ACGD.故选A.6设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_.解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确答案：或7如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC
18、平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点，EFAC.答案：8(2020贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号)解析：mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误答案：9(2020石家庄质检)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ADBC，CDBC，AD2，ABBC3，PA4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC3PN.(1)求证：MN平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离解：(1)证明：在平面P
19、BC内作NHBC交PB于点H，连接AH(图略)，在PBC中，NHBC，且NHBC1，AMAD1.又ADBC，NHAM且NHAM，四边形AMNH为平行四边形，MNAH，又AH平面PAB，MN平面PAB，MN平面PAB.(2)连接AC，MC，PM(图略)，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD2，AC2，SPACPAAC4，SAMCAMCD，由VMPACVPAMC，得SPAChSAMCPA，即4h4，h，点M到平面PAN的距离为.10如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明：(1)如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，所以四边形BEGO为平行四边形，故OBEG，因为OB平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，所以EG平面BB1D1D.(2)由题意可知BDB1D1.连接HB，D1F，所以四边形HBFD1是平行四边形，故HD1BF.又B1D1HD1D1，BDBFB，所以平面BDF平面B1D1H.
