1、5从力做的功到向量的数量积, )1问题导航(1)计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量？(2)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？(3)若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定是锐角吗？若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角一定是钝角吗？2例题导读 P95例1.通过本例学习，学会计算两个向量的数量积 试一试：教材P97习题25 A组T2你会吗？ P95例2.通过本例学习，学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题 试一试：教材P97习题25 A组T6你会吗？ P96例3.通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系 试一试：教材P97习题25 B组T2你
2、会吗？ P96例4.通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角 试一试：教材P97习题25 A组T5你会吗？ 1力做的功一个物体在F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为W|F|s|cos ，其中 是F与s的夹角2两个向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，如图，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角范围0180垂直当90时，称向量a与b互相垂直，记作ab规定零向量可与任一向量垂直特例当0时，a与b同向；当180时，a与b反向3.向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_特别规定：零向量与任一向
3、量的数量积均为0射影|a|cos_(|b|cos )叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)的射影几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos_的乘积物理意义力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs4.数量积的性质(1)若e是单位向量，则eaae|a|cos_(2)若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab.通常记作abab0(a，b为非零向量)(3)a、b同向ab|a|b|；a、b反向ab|a|b|；特别地aaa2或|a|.(4)cos (|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b
4、|.当且仅当ab时等号成立5向量数量积的运算定律已知向量a，b，c与实数，则交换律abba结合律(a)b(ab)a(b)分配律a(bc)abac6.乘法公式成立(ab)(ab)a2b2.(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2等等1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的数量积的运算结果是一个向量()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)若abbc，则一定有ac.()解析：(1)错误向量的数量积是一个数(2)错误向量a与b可能垂直(3)错误向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等答案：(1)(2)(3)2已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在b方向上的投影为()
5、A4 B4C2 D2解析：选A.向量a在b方向上的投影为|a|cos 4，故选A.3已知|a|3，|b|4，则(ab)(ab)_解析：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|232427.答案：74已知ABC中，BC4，AC8，C60，则_解析：画图可知向量与的夹角为角C的补角，故|cos(C)48()16.答案：161对数量积概念的三点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角(2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成ab，其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意
6、义，学习时注意掌握2理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的(2)b在a方向上的投影为|b|cos (是a与b的夹角)，也可以写成.(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3数量积性质的作用性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值但要特别注意该不等式中“”成立的条件4向
7、量数量积与实数积运算律的比较实数a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0b0abbc(b0)acabbc(b0)ac|ab|a|b|ab|a|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算(1)已知|a|4，|b|5，当ab，ab，a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积(2)已知ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且2340，求的值(链接教材P95例1)解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，所以ab|a|b|cos 18045(1)20.当ab时，90，所以ab|a|b|cos 900.当a与b的夹角为30时，ab|a
8、|b|cos 304510.(2)由2340，得234，两边平方得，491624，所以，324，两边平方得，941616，所以，所以().方法归纳求向量数量积的方法及注意事项(1)方法：分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解(2)注意事项：要牢记数量积的运算公式；要注意确定两个向量的夹角；对于平行向量要注意两向量是同向还是反向(3)求形如(manb)(paqb)的数量积，可以先展开，再求a2、b2、ab.1(1)在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8C8 D16(2)若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足632，则_解析：(1)()(
9、)216.(2)由632可得，在MAC中，在MBC中，()()22，又等边ABC中，|2，|cos 602，则.答案：(1)D(2)向量模的问题(1)已知向量a与b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_(2)设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，|a|1，则|b|_(链接教材P97习题25 A组T4)解析(1)因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)(2)因为abc0，所以c(ab
10、)因为(ab)c，所以c(ab)0，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|b|a|1.答案(1)(2)1本例(2)中，加上条件ab，其他不变，求|c|.解：由已知可得c(ab)，而(ab)c，有(ab)(ab)0，所以a2b20，又|a|1，得|b|1，而ab，所以c2(ab)2a22abb22，即|c|.方法归纳求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab
11、)a2b2等2(1)平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|()A. B2C4 D12(2)若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 BC1 D(3)已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|1，|b|2，|c|3，求|abc|.解：(1)选B.|a2b|2.(2)选B.由题意知即将2得，2a2b20，所以b2|b|22a22|a|22，故|b|.(3)当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0，所以|abc|a|b|c|6；当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量设a，b，c所成的角均为，则3360，即120，所
12、以ab|a|b|cos 1201.同理bc3，ca，由|abc|2a2b2c22ab2bc2ca3，故|abc|.综上所述，|abc|6或.向量的夹角与垂直(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _(2)已知向量a，b满足ab与ab垂直，2ab与b垂直，则a与b的夹角为_(3)已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).求|b|；当ab时，求向量a与b的夹角的值解(1)因为|a|3，|b|2，所以ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .故填.(2)因为ab与ab垂直，所以(ab)(ab
13、)0.所以a2b2.所以|a|b|.因为2ab与b垂直，所以(2ab)b0.所以2abb20.所以abb2|b|2.设a，b的夹角为，则cos .因为0，所以.故填.(3)因为(ab)(ab)，即a2b2，所以|b|2|a|21，故|b|.因为cos ，又0180，所以45.方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤(2)注意事项在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值3(1)已知向量a，b满足|a|2，|b|3，a(ba)1，则a与b的夹角为()A.B.C. D(2)已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. BC
14、. D(3)已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_解析：(1)因为|a|2，a(ba)1，所以a(ba)aba2ab221，所以ab3.又因为|b|3，设a与b的夹角为，则cos .又0，所以.(2)设a与b的夹角为，因为|a|3，|b|2，且a(ab)，所以a(ab)a2ab|a|2|a|b|cos 96cos 0，则cos ；又因为0，所以，即a与b的夹角为.(3)向量与的夹角为120，且|3，|2，所以|cos 1203.由得，0，即()()0，所以22(1)0，即493(1)0，解得.答案：(1)C(2)D(3)易错警示因数量积转化不等价致误设两个向量e1，e2
15、满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_解析由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得(2te17e2)(e1te2)0，即2te2t2e1e27e1e27te0，因为|e1|2，|e2|1，且e1与e2的夹角为，化简即得：2t215t70，解得7t.当夹角为时，2te17e2(e1te2)，0，可求得所以所以所求实数t的范围是.答案.错因与防范(1)解答本题常会出现错误的答案为(7，)原因是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2te17e2)(e1te2)0为锐角或零角；ab0为钝角或平角如本例应排除
16、向量2te17e2与e1te2共线且反向的特殊情形后才等价4(1)已知a是单位向量，|b|，且(2ab)(ba)4，则a与b的夹角为()A45 B60C120 D135(2)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a，b的夹角为_解析：(1)设a，b的夹角为.由(2ab)(ba)2ab2a2b2abab26ab44，所以ab，又ab|a|b|cos cos ，所以cos ，又0180，所以135，故a与b的夹角为135.(2)设a，b的夹角为.由|a|b|ab|，得|a|2|ab|2，所以|a|2|a|22ab|b|2，得ab|b|2，所以ab|a|b|cos |b|2，所以cos ，又0，
17、所以.答案：(1)D(2)1若四边形ABCD满足0，0，则该四边形是()A菱形 B矩形C直角梯形 D正方形解析：选B.由0知，所以AB綊CD，所以四边形ABCD是平行四边形因为0，所以ADAB，所以四边形ABCD是矩形，故选B.2等边三角形ABC的边长为1，则等于()A0 B1C D解析：选D.由已知|1，所以cos 120cos 120cos 120.3已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析：设a，b的夹角为，由(a2b)(ab)6，得a2ab2b26，又|a|1，|b|2，所以ab1，所以cos ，又因为0180，所以60.答案：60, 学生用
18、书单独成册)A.基础达标1设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(ab)c(ca)b0；|a|b|0)(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角为60，求k的值解：(1)因为|kab|akb|，所以(kab)23(akb)2，且|a|b|1，即k212kab3(1k22kab)，所以ab.因为k210，所以ab0，即a与b不垂直(2)因为a与b的夹角为60，且|a|b|1，所以ab|a|b|cos 60.所以.所以k1.10设向量a，b满足|a|b|1，|3ab|.(1)求|a3b|的值；(2)求3ab与a3b夹角的正弦值解：(1)由|3ab|得(3ab)25，所以9a26abb2
19、5.因为a2|a|21，b2|b|21，所以96ab15，所以ab.所以(a3b)2a26ab9b2169115.所以|a3b|.(2)设3ab与a3b的夹角为.因为(3ab)(a3b)3a28ab3b231831.所以cos .因为0180，所以sin .所以3ab与a3b夹角的正弦值为.B.能力提升1.如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADDC.若|a，|b，则()Aa2b2Bb2a2Ca2b2Dab解析：选B.因为，所以在方向上的投影为|cosCAD|，又，所以在方向上的投影为|cosCAB|.所以()|b2a2.2在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则()A2
20、 B4C5 D10解析：选D.642610.3设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析：根据题意，得.因为，所以04，所以00)，又因为，于是()22a2a1，由已知可得a2a11.又a0，所以a，即AB的长为.答案：5.如图，在ABC中，O为中线AM上的一个动点，如果AM2，求()的最值解：因为2，所以()22|cos 1802|，|2，设|t(0t2)|2t.所以()2(2t)t2t24t2(t1)22(0t2)所以当t1时，()取得最小值2.当t0或2时，()取得最大值0.6(选做题)已知非零向量a、b，设其夹角为，是否存在，使得|ab|ab|成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由解：假设存在满足条件的，由|ab|ab|可得：(ab)23(ab)2，即|a|22ab|b|23(|a|22ab|b|2)|a|24ab|b|20|a|24|a|b|cos |b|20.已知向量a、b为非零向量，则|b|0，上式同除以|b|2得到：4cos 10，由0得到：(4cos )240，解得cos 或cos ，又知cos 1，1，则1cos 或cos 1，因为0，所以满足题意因此，当时，使得|ab|ab|.
