1、专题7一元二次不等式及其解法1三个“二次”之间的联系一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0)与相应的一元二次函数yax2bxc(a0)、一元二次方程ax2bxc0(a0)之间的关系:2.解一元二次不等式的步骤(1)变形(二次项系数化为正数,另一边为零);(2)判号(确定判别式b24ac的符号);(3)求根(解相应的一元二次方程);(4)画图(画出相应二次函数的图象);(5)定解集(根据图象写出不等式的解集)例1解关于x的不等式x2(aa2)xa30.变式1解关于x的不等式(x2)(ax2)0.例2已知不等式(m2)x22(m2)x40的解集为R,求m的取值范围变式2若不等式mx22x1m
2、0的解集为x|2x0的解集变式3已知关于x的不等式x2mxn0的解集是x|5x1,求实数m,n的值A级1不等式2x2x10的解集是()A.B(1,)C(,1)(2,)D.(1,)2已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x1,则f(x)0的解集为()Ax|x1Bx|1x1Cx|x1或x1D以上都不对3若集合Ax|ax2ax10,则实数a的值的集合是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a44若0t0的解集是()A. B.C. D.5已知x1是不等式k2x26kx80的解,则k的取值范围是_6函数y的定义域为R,则k的取值范围是_7用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600
3、 m2的矩形吗?B级8不等式2的解集是()A3, B,3C,1)(1,3 D,1)(1,39如果方程x2(m1)xm220的两个实根一个小于1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是()A(,) B(2,0)C(2,1) D(0,1)10对任意a1,1,函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零,则x的取值范围是()A1x3 Bx3C1x2 Dx211关于x的不等式1对一切实数x恒成立,则k的取值范围是_12若关于x的不等式(2x1)2ax2的解集中的整数恰有3个,则实数a的取值范围是_13已知函数f(x)x2axb(a,bR)的值域为0,),若关于x的不等式f(x)0变形为(xa)(xa2)
4、0.a2aa(a1)当a1时,aa2,解集为x|xa2当0a1时,a2a,解集为x|xa当a0或1时,解集为x|xR且xa综上知,当a1时,不等式的解集为x|xa2;当0a1时,不等式的解集为x|xa;当a0或1时,不等式的解集为x|xR且xa变式1解不等式的解及其结构与a相关,所以必须分类讨论(1)当a0时,原不等式化为x20,解集为x|x2;(2)当a,原不等式化为(x2)(x)0,解集为x|x2;(3)当0a1时,由于20,解集为x|x;(4)当a1时,原不等式化为(x2)20,解集为x|x2;(5)当a1时,由于2,原不等式化为(x2)(x)0,解集为x|x2综上所述,原不等式的解集为
5、:当a0时,解集为x|x2;当a0时,解集为x|x2;当0a1时,解集为x|x;当a1时,解集为x|x2;当a1时,解集为x|x2例2解m2时,不等式40恒成立,故m2适合题意;m2时,y(m2)x22(m2)x4为二次函数,二次函数的值恒大于零,即(m2)x22(m2)x40的解集为R.,即,解得:.m的取值范围为(2,6)综上,m的取值范围为2,6)变式2解已知不等式可化为(x21)m(12x)0.设f(m)(x21)m(12x),这是一个关于m的一次函数(或常数函数),从图象上看,要使f(m)0在2m2时恒成立,其等价条件是:,即解得x.所以,实数x的取值范围是.例3解由题意知,2,3是
6、方程ax2bxc0的两根,且a0得:6ax25axa0(a0)即6x25x10,所求不等式的解集为x|x0得(2x1)(x1)0,解得x1或x0时,相应二次方程中的a24a0,得a|0a4,综上得a|0a4,故选D.4D0t1,t.(tx)(x)0(xt)(x)0tx0恒成立k0适合题意;k0时,有0k4.故k的取值范围是k|0k47解设矩形一边的长为x m,则另一边的长为(50x) m,0x600,即x250x6000.解得20x30.所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600 m2的矩形8D2所以x,1)(1,39C10.B11.(3,)12.解析原不等式可化为(4a)x24x10,由于原不等式的解集中的整数恰有3个,所以即0a4,故由得x,又,所以解集中的3个整数必为1,2,3,所以34,解得a.139解析通过值域求a,b的关系是关键由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0,),b0,即b.f(x)2.又f(x)c.2c,即x.,得26,c9.