1、高考资源网（） 您身边的高考专家4简单计数问题学 习 目 标核 心 素 养1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念(重点)2能够运用原理和公式解决简单的计数问题(难点)通过对两个计数原理、排列组合的进一步学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1计数问题的基本解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(又称元素分析法)或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(又称位置分析法)(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数2解决计数问题应遵循的原则先特殊后一般，先组合后排列，先分类后分步，充分考虑元素的特殊性，进
2、行合理的分类与分步1用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有()A900个 B720个C648个D504个C由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A种，其余两位上的数字取法有A种，所以三位数字有AA648(个)26名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A720种 B360种 C240种 D120种C(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A种排法，再和其余4人，共5个元素全排列，有A种排法，故共有排法AA240种3用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个B当万位数字为4时，个位
3、数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数故符合条件的偶数共有2ACA120(个)排列问题【例1】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A210个 B300个C464个D600个B若不考虑附加条件，组成的六位数共有AA个，而其中个位数字与十位数字的A种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共有AAA300个定序问题解决方法,对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数.1把A，B，C，D，E排成一排，要求字母A排
4、在字母B的右边(可相邻也可以不相邻)，不同的排法有_种60A，B，C，D，E排成一排有A种方法A，B两个字母的顺序固定，不同的排法有A60种组合问题【例2】某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选解(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人由分步乘法计数原理，得CC种(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5
5、人由分步乘法计数原理，得CC种(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共CC种，即C种(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有CCCC种，或CCC种(5)某3人可除外，故共有CC种，即C种(6)CCC种，即CC种解答组合应用题的总体思路(1)整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.2
6、. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15B与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C1个与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有64111个排列、组合的综合应用探究问题1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不
7、同的结果？完成的“这件事”指的是什么？提示共有C6(个)不同结果完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？提示共有A210(个)不同结果这个问题属于排列问题完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？提示由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类
8、进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有ACCC30(种)不同的结果【例3】现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个空盒，有几种放法？思路探究：(1)可用分步乘法计数原理(2)恰有一个空盒相当于4个不同的球放到三个不同的盒子内，必有一个盒子放2个球(3)恰有两个空盒，相当于4个球放到两个盒子内，可以是3,1放法，也可以是2,2
9、放法解(1)44256(种)(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法根据分步乘法计数原理，共有CA144(种)不同的放法(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的放法共有CACC84种解决排列、组合综合问题要遵循两个原则(1)按事情发生的过程进行分步.(2)按元素的性质进行分类
10、.解决时通常从以下三个途径考虑：以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.34种不同的种子，选出3种种在三块不同的地上，每一块地只能种一种，则不同的种法有()ACA种BCA种CCA种DAA种A分两步完成：第一步，选种子，有C种选法；第二步，种地，有A种种法，共有CA种不同种法1解决排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步，寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题2求解排列与组
11、合问题的一般步骤(1)把具体问题化归为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用两个计数原理；(3)分析题目条件，避免重复或遗漏；(4)列出式子，准确计算. 1数列an共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列an共有()A30个 B31个C60个D61个A在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A30个212名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()ACA BCA CCA DCAC从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是CA.3由1,2,3
12、,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144C第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有AA种；1,3,5均不相邻，有A种故总的排法为A(AAA)108种，故选C.4将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有_种不同的放法96(排除法)红球放入红口袋中共有A种放法，则满足条件的放法种数为AA96(种)5某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中3个队要安排会英语的导游，2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有多少种？解依题意，导游中有5人只会英语，3人只会日语，1人既会英语又会日语按只会英语的导游分类：3个英语导游从只会英语人员中选取，则有AA720(种)3个英语导游从只会英语的导游中选2名，另一名由既会英语又会日语的导游担任，则有CAA360(种)故不同的安排方法共有AACAA1 080(种)所以不同的安排方法共有1 080种- 8 - 版权所有高考资源网
