1、模块综合检测(二)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f (x)，则 ()A2ln 2B2ln 2C2ln 2D2ln 2A由题意，函数f (x)，则f (x)，则 f 2ln 2，故选A.2等比数列an是递减数列，前n项的积为Tn，若T134T9，则a8a15()A2B4C2D4CT134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9，a10a11a12a134.又a10a13a11a12a8a15，(a8a15)24，a8a152.又an为递减数列，q0，a8a152.3已知
2、公差不为0的等差数列an的前23项的和等于前8项的和若a8ak0，则k()A22B23C24D25C等差数列的前n项和Sn可看做关于n的二次函数(图象过原点)由S23S8，得Sn的图象关于n对称，所以S15S16，即a160，所以a8a242a160，所以k24.4已知函数f (x)(xa)ex的图象在x1和x1处的切线相互垂直，则a()A1B0C1D2A因为f (x)(xa1)ex，所以f (1)(a2)e，f (1)ae1，由题意有f (1)f (1)1，所以a1，选A.5设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S3a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10()A15B19C21D30
3、B由S3a得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列可得SS1S4，又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)，化简得3d22a2d，又d0，a23，d2，a11，an12(n1)2n1，a1019.6若函数f (x)axln x的图象上存在与直线x2y40垂直的切线，则实数a的取值范围是()A(2，) BCD(2，)D因为函数f (x)axln x的图象上存在与直线x2y40垂直的切线，所以函数f (x)axln x的图象上存在斜率为2的切线，故kf (x)a2有解，所以a2，x0有解，因为y2，x0的值域为(2，)所以a(2，)7已
4、知等差数列的前n项为Sn，且a1a514，S927，则使得Sn取最小值时的n为()A1B6C7D6或7B由等差数列an的性质，可得a1a52a314a37，又S927a1a96a53，所以d2，所以数列an的通项公式为ana3(n3)d7(n3)22n13，令an02n130，解得n，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得Sn取最小值时的n为6，故选B.8若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A4B6C4.5D8A设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h.S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，当x8时，S(x)取得最小值
5、h4.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a10，且S6S9，则()Ad0Ba80CS5S6DS7或S8为Sn的最大值ABD根据题意可得a7a8a903a80a80，数列是等差数列，a10，公差d0，所以数列是单调递减数列，对于A、B，d0，则S5b9且a10b10，则以下结论正确的有()Aa9a10a10Cb100Db9b10AD等比数列的公比q，a9和a10异号，a9a10b9且a10b10，b9和b10中至少有一个数是负数，又b1120 ，db1
6、0 ，故D正确，b10一定是负数，即b100 ，故C不正确. 故选AD.12已知函数f (x)xln x，若0x1x2，则下列结论正确的是()Ax2f (x1)x1f (x2)Bx1f (x1)x2f (x2)C0D当ln x1时，x1f (x1)x2f (x2)2x2f (x1)AD设g(x)ln x，函数单调递增，则g(x2)g(x1)，即，x1f (x2)x2f (x1)，A正确；设h(x)f (x)xh(x)ln x2不是恒大于零，B错误；f (x)xln x，f (x)ln x1不是恒小于零，C错误；ln x1，故f (x)ln x10，函数单调递增故(x2x1)(f (x2)f (
7、x1)x1f (x1)x2f (x2)x2f (x1)x1f (x2)0，即x1f (x1)x2f (x2)x2f (x1)x1f (x2)ln x2ln x1，x1f (x2)x2f (x1)，即x1f (x1)x2f (x2)2x2f (x1)，D正确故选AD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13数列an的前n项和为Sn，若an1(nN*)，a12，则S50_.25因为an1(nN*)，a12，所以a21，a3，a42，数列an是以3为周期的周期数列，且前三项和S321， S5016S32125.14将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直
8、线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_设ADx(0x1)，则DEADx，梯形的周长为x2(1x)13x.又SADEx2，梯形的面积为x2，s(0x1)，则s.令s0，解得x.当x时，s0，s为增函数故当x时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为.15设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.由S23a22，S43a42相减可得a3a43a43a2，同除以a2可得2q2q30，解得q或q1.因为q0，所以q.16已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x0时，xf (x)f (x)，若f (2)0，则2f (3)_3f (2)(填
9、“”“”)不等式xf (x)0的解集为_(本题第一空2分，第二空3分)(2，0)(2，)由题意，令g(x)，x0时，g(x)0.g(x)在(0，)单调递增，在(0，)上单调递增，即2f (3)3f (2)又f (x)f (x)，g(x)g(x)，则g(x)是奇函数，且g(x)在(，0)上递增，又g(2)0，当0x2时，g(x)0，当x2时，g(x)0；根据函数的奇偶性，可得当2x0时，g(x)0，当x2时，g(x)0.不等式xf (x)0的解集为x|2x0或x2四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在等差数列中，已知a11，a35.(
10、1)求数列的通项公式；(2)若数列的前k项和Sk25，求k的值解(1)由题意，设等差数列的公差为d，则ana1d，因为a11，a35，可得12d5，解得d3，所以数列的通项公式为an143n.(2)由(1)可知an43n，所以Snn2n，又由Sk25，可得k2k25，即3k25k500，解得k5或k，又因为kN*，所以k5.18(本小题满分12分)已知函数f (x)aln xx2.(1)求f (x)的单调区间；(2)函数g(x)x3(x0)，求证：a1时f (x)的图象不在g(x)的图象的上方解(1)f (x)x(x0)，若a0，则f (x)0，f (x)在 (0，)上单调递增；若a0，令f
11、(x)0，解得x，由f (x)0，得x，由f (x)0，得0x.从而f (x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)证明：令(x)f (x)g(x)，当a1时，(x)ln xx2x3(x0)，则(x)x2x2.令(x)0，解得x1.当0x1时，(x)0，(x)单调递增；当x1时，(x)0，(x)单调递减当x1时，(x)取得最大值(1)0，(x)0，即f (x)g(x)故a1时f (x)的图象不在g(x)的图象的上方19(本小题满分12分)已知数列的前n项和为Sn，且2Sn3an1.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足bnlog3an1，求数列的前n项和Tn.解(1)由2Sn3
12、an1得，2Sn13an11.两式相减并整理得，an3an1.令n1，由2Sn3an1得，a11.故是以1为首项，公比为3的等比数列，因此an3n1.(2)由bnlog3an1，结合an3n1得，bnn.则故Tn.20(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)(1)写出2019年第x个月的旅游人数f (x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少
13、元？解(1)当x1时，f (1)p(1)37，当2x12，且xN*时，f (x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x，验证x1也满足此式，所以f (x)3x240x(xN*，且1x12)(2)第x个月旅游消费总额(单位：万元)为g(x)即g(x)(i)当1x6，且xN*时，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5或x(舍去)当1x5时，g(x)0，当5x6时，g(x)0，当x5时，g(x)maxg(5)3 125.(ii)当7x12，且xN*时，g(x)480x6 400是减函数，当x7时，g(x)maxg(7)3 040.综上，2019
14、年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元21(本小题满分12分)已知数列an的通项公式为an3n1，在等差数列bn中，bn0，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列(1)求数列anbn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)an3n1，a11，a23，a39.在等差数列bn中，b1b2b315，3b215，则b25.设等差数列bn的公差为d，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，(15d)(95d)64，解得d10或d2.bn0，d10应舍去，d2，b13，bn2n1.故anbn(2n1)3n1.(2)由(1)知Tn3153732(
15、2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2Tn312323223323n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n.22(本小题满分12分)设函数f (x)x36x5，xR.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f (x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围解(1)f (x)3(x22)，令f (x)0，得x1，x2.当x(，)(，)时，f (x)0，当x(，) 时，f (x)0，因此x1，x2分
16、别为f (x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf (x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf (x)的图象有3个不同交点需54f ()af ()54.则方程f (x)a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(54，54)(3)法一：f (x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为x1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1，0)且f (1)0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f (1)3，由(2)中图知要使x(1，)时，f (x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3
