1、A基础达标1点A(a,1)在椭圆1的内部,则a的取值范围是()AaBaC2a2D1a1解析:选A由题意知1,解得a0,x1x2,所以x0,y0x013椭圆1(ab0)上对两焦点的张角为90的点可能有()A4个B2个或4个C0个或2个或4个D以上都不对解析:选C当点P在短轴端点处时,F1PF2最大,由椭圆的对称性可知选项C正确4直线yx与椭圆C:1(ab0)交于A、B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为()AB1CD42解析:选B设A在y轴左侧,其坐标设为A(x0,x0),则B(x0,x0),设F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,则c|AB|2|x0|,所以
2、F2(2x0,0),F1(2x0,0),|AF2|2|x0|,|AF1|2|x0|,因为|AF1|AF2|2a,所以a(1)|x0|,所以e15椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离为()A3BCD2解析:选C易判断直线x2y0与椭圆1相交,令与直线x2y0平行的直线方程为x2yC0代入1,化简整理得8y24CyC2160,则16C232(C216)0,C4由图(图略)可知C4.切线x2y40与直线x2y0间的距离为6椭圆1的一个焦点为F1,点P在椭圆上如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是_解析:设M的纵坐标为y0,F1为其左焦点,则F1(3,0),可得P(3,2y0),故1,解得
3、y0答案:7椭圆1(ab0)的离心率为,若直线ykx与其一个交点的横坐标为b,则k的值为_解析:由题意知,交点坐标为(b,kb),代入1(ab0)得1,所以k21,所以ke答案:8已知椭圆的方程为1(m0)如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为_解析:焦点在x轴上,由题意知,M又因为点M在yx上,所以,解得m2,所以e答案:9椭圆ax2by21与直线xy10相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|2,OC的斜率为,求椭圆的方程解:法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得,a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0
4、而1,kOC,代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2,其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根,故44,将ba代入得a,所以b,所以所求椭圆的方程是1法二:由得(ab)x22bxb10设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|因为|AB|2,所以1.设C(x,y),则x,y1x,因为OC的斜率为,所以.代入,得a,b.所以所求椭圆的方程为110已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B是直线l:x2上的不同两点,若0,求|AB|的最小值解:(1)由题意,得,解得所以
5、椭圆C的标准方程为1(2)由(1),知F1(,0),F2(,0)不妨设直线l:x2上的不同两点A,B的坐标分别为A(2,y1),B(2,y2),则(3,y1),(,y2)由0,得y1y260,即y2,不妨设y10,则|AB|y1y2|y12(当且仅当y1,y2时取等号),所以|AB|的最小值是2B能力提升11以F1(1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线xy30有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是()A1B1C1D1解析:选C设椭圆方程为1(a1),由得(2a21)x26a2x(10a2a4)0,由0,得a,e,此时a,故椭圆方程为112已知椭圆C:y21的两焦点为F1,F2,点P(x0,
6、y0)满足0y1,则|PF1|PF2|的取值范围为_解析:因为0y1,所以P(x0,y0)在椭圆内部所以|F1F2|PF1|PF2|2a,即2|PF1|PF2|AB|,所以动点C的轨迹是椭圆的一部分因为a4,c2,所以b212,所以曲线E的方程为1(x4)(2)设两直线的方程为ykx与ykx(k0),记ykx与曲线E在第一象限的交点为(x0,y0),ykx与1联立得x,所以S4kx,因为k0,所以S16,当且仅当4k,即k时,等号成立所以k时四边形面积的最大值为1614(选做题)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直
7、线lMN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D(1)设e,求|BC|与|AD|的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN,并说明理由解:(1)由于C1,C2的离心率相同,故依题意可设C1:1,C2:1(ab0)设直线l:xt(|t|a),分别与C1,C2的方程联立,求得A(t,),B(t,)当e时,ba,分别用yA,yB表示A、B的纵坐标,可知|BC|AD|(2)当t0时的l不符合题意,当t0时,BOAN当且仅当OB的斜率kOB与AN的斜率kAN相等,即,解得ta因为|t|a,0e1,所以1,解得e1所以当0e时,不存在直线l,使得BOAN;当e1时,存在直线l,使得BOAN