1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.平面向量数量积的坐标表示(1)条件：两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2).(2)坐标表示：ab=_.(3)文字语言：两个向量的数量积等于它们_.x1x2+y1y2对应坐标的乘积的和2.平面向量的模的坐标表示(1)条件：a=(x,y).(2)坐标表示：|a|2=_或|a|=_.(3)常见应用：表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则a=_，|a|=_.x2+y222xy(x2-x1,y2-y1)222121xxyy3.向量垂直的判定(1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a0，b0.(
2、2)坐标表示：ab_.4.两向量夹角的余弦(1)条件：两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，为a与b的夹角，且0.(2)坐标表示：cos=_=_.x1x2+y1y2=0|a ba b121222221122x xy yxyxy1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2，y1y2).()(2)|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的.()(3)非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的夹角为锐角，则x1x2+y1y20，反之，若非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)满足x1x2+y1
3、y20，则它们的夹角为锐角.()AB【解析】(1)错误.向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积是实 数，其数值为x1x2+y1y2.(2)正确.向量 的模|是线段AB的长度，也就是A，B两 点间的距离，两者计算公式也是相同的.(3)错误.非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的夹角为锐角，则cos=0，所以x1x2+y1y20，反之，若x1x2+y1y20，则cos0，当cos=1时，=0，非 零向量a，b的夹角不是锐角.答案：(1)(2)(3)ABAB|a ba b121222221122x x y yx yx y2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若a=(1，1
4、)，b=(-3，4)，则ab=.(2)若表示向量a的起点和终点的坐标分别为(-1，2)和(3，3)，则|a|=.(3)已知平面向量a=(x，-1)，b=(-3，1)，若ab，则实数x的值等于 .(4)已知向量a=(1，1)，b=(2，0)，则向量a，b的夹角为.【解析】(1)因为a=(1,1)，b=(3,4)，所以ab=(1,1)(3,4)=1(3)+14=1.答案：1(2)由题意得，a=(3,3)(1,2)=(4,1)，所以|a|=答案：224117.17(3)因为a=(x,1),b=(3,1)，ab,所以ab=(x,1)(3,1)=3x+(1)1=0，解得x=.答案：(4)设向量a，b的夹
5、角为，由向量的夹角公式可得cos 因为0，所以 .答案：13131 21 02.|222 a ba b44【要点探究】知识点1 平面向量数量积及模的坐标表示1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀(1)作用：数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一个公式；它实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化，从而将它们联系起来.(2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”.2数量积坐标表示的意义(1)由数量积坐标表示，可不求向量的模和夹角直接求数量积，使得数量积的计算更为方便、简单.(2)实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来.3.向量的模的坐标运算的实质向量的模
6、即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),使得=a=(x,y),所以=a=即a为点A到原点的距离.同样若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),所以=即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.OAOA22xy,ABAB222121xxyy,【微思考】(1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？提示：适用.无论是零向量，还是非零向量，均可使用向量数量积的坐标公式.(2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法
7、有什么不同？提示：向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三种方法.几何表示法、代数表示法表示向量时，用数量积的定义计算数量积，坐标表示法表示向量时，用数量积的坐标运算求数量积.(3)向量模的坐标表示可以解决哪些问题？提示：向量模的坐标表示可以解决求线段的长度等问题.【即时练】1.(2014北京高一检测)已知向量e1=(1，0)，e2=(0，1)，那么|e1+2e2|=()【解析】选D.因为e1=(1，0)，e2=(0，1)，所以e1+2e2=(1，0)+2(0，1)=(1，2)，所以|e1+2e2|=A.1 B.3 C.2 D.522125.2.已知向量a=(4，3)，b=(-1，2)，求：
8、(1)ab.(2)(a+2b)(a-b).(3)a2-4ab.【解析】(1)因为a=(4，3)，b=(-1，2)，所以ab=(4，3)(-1，2)=4(-1)+32=2.(2)因为a=(4，3)，b=(-1，2)，所以a2=(4，3)(4，3)=42+32=25，b2=(-1，2)(-1，2)=(-1)2+22=5.所以(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=25+2-25=17.(3)a2-4ab=25-42=17.知识点2 向量垂直、夹角余弦值的坐标表示1.向量垂直的坐标表示(1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“abx1x2+y1y2=0”
9、可简记为“对应相乘和为0”；“abx1y2-x2y1=0”可简记为“交叉相乘差为0”.(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题.2.平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略(1)应用条件已知两个非零向量的坐标，可以利用该公式求得夹角的余弦值.(2)在不同表示形式下求向量夹角的策略当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系.若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos=求解.121222221122x xy yxyxy【知识拓展】投影的坐标表示 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则向量b在向量a方向上 的投影的
10、坐标表示：|b|cos=12122211x xy y.xy【微思考】由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？提示：若数量积为正，则余弦值为正；若数量积为0，则余弦值为0；若数量积为负，则余弦值为负.【即时练】1.(2014长沙高一检测)设a=(log2x，2)，b=(1，-1)，ab，则x=.2.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则a与b的夹角为 .【解析】1.因为向量a=(log2x，2)，b=(1，-1)，又ab，所以log2x-2=0，所以log2x=2，x=4.答案：4 2.ab=3+2=5，|a|=，|b|=，设两向量夹角为，则cos=
11、又0，所以=.答案：510|a ba b52.251044【题型示范】类型一 平面向量数量积、模的坐标运算问题【典例1】(1)(2014安溪高一检测)已知向量a=(1,2),b=(2,x),且ab=1，则x的值等于()1133A.B.C.D.2222(2)(2014天津高一检测)已知点A(1，-2)，若向量与a=(2,3)同向，且|=则点B的坐标为()A.(5，-4)B.(4,5)C.(-5，-4)D.(5,4)(3)(2013新课标全国)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_.ABAB2 13，AE BD【解题探究】1.题(1)中，利用哪个条件可建立关于x的方程？2.题(2)中
12、，向量 的坐标满足哪些等量关系？3.题(3)中，求数量积有哪几种方法？若用坐标运算，需要先 做何种准备？AB【探究提示】1.根据ab=1建立关于x的方程.2.分别根据向量 与a=(2,3)同向，|=可得 的坐标满足的等量关系.3.方法一：用 分别表示向量 用数量积的定义计 算 方法二：坐标运算.首先要建立坐标系,确定各关键 点的坐标,再求得数量积 ABAB2 13ABBA,BCAE,BD，AE BD.AE BD.【自主解答】(1)选D.因为a=(1,2),b=(2,x),所以ab=(1,2)(2,x)=12+2x=-1，解得x=3.2(2)选D.因为向量 与a=(2,3)同向，所以设向量 =(
13、2,3)，0，则 =(2,3)，又因为|=所以(2)2+(3)2=所以2=4，解得=2.所以 =(4,6),又因为点A的坐标为(1,2)，设O为坐标原点，所以 =(1,2)+(4,6)=(5,4)，所以点B的坐标为(5,4).ABABABAB2 13，22 13，ABOBOAAB(3)方法一：因为ABCD是正方形，所以 因为E为CD的中点，所以 所以 所以=BDBABC BA BC0，1DEBA,21AEADDEBCBA.21AE BD(BCBA)(BABC)2222211BCBA222.22方法二：以点B为原点，以 的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则(,)，(,)，(,)，(,
14、)，所以 =(2,-1),=(2,2)，所以 答案：2 BC BA，AEBDAE BD2.【延伸探究】题(3)中，若增加条件“点F在边AD上，”，试求的值.【解析】建立平面直角坐标系如图，则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),因为 所以 所以 所以 AF2FDBE CFAF2FD，4F(,2).342BE2,1 CF(,2)2,0(,2)33，222BE CF(2,1)(,2)2()1 2.333【方法技巧】1.数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式ab=x1x2+y1y2，并能 灵活运用以下几个关系：|a|2=aa.(a+b)(a-b)=
15、|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设 出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足 的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.2.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算.利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算.若a=(x，y)，则aa=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=.22xy【变式训练】已知向量a=(1，k)，b=(2，2)，且a+b与a共线，那么ab的值为 .【解析】a+b=(1，k)+(2，2)=(3，k+2).
16、因为a+b与a共线，所以k+2-3k=0，解得k=1.所以ab=(1，1)(2，2)=4.答案：4【误区警示】解答本题容易将向量平行的坐标表示与数量积的坐标表示混淆，导致错误.【补偿训练】若a=(3，-1)，b=(1，2)，则满足ca=9，cb=-4的向量c=.【解析】设向量c的坐标为(x，y)，ca=(x，y)(3，-1)=3x-y=9 cb=(x，y)(1，2)=x+2y=-4 联立解得x=2，y=-3，所以c=(2，-3).答案：(2，-3)类型二 平面向量的夹角和垂直问题【典例2】(1)(2014景德镇高一检测)设a=(2，4)，b=(1，1)，若b(a+mb)，则实数m=.(2)如图
17、，AOE和BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|=t(t0)，连AC交BE于点D，连接OD.用t表示向量的坐标；当时，求向量的夹角的大小.OCOD和3OCOB2ODEC和【解题探究】1.题(1)中，如何建立关于m的方程？2.题(2)中，第题点C可以看作哪个角终边上的点？是否可以 利用任意角三角函数的定义表示出点C的坐标？BCD与EAD相似吗？若相似，可以找到哪些向量之间的关 系？第题，t的值是多少？求 与 的夹角，要计算哪些 量？ODEC【探究提示】1.由b(a+mb)得b(a+mb)=0，从而建立关于m 的方程.2.第题点C可以看作-60角终边上的点，再利用|=t+1，可以根
18、据任意角三角函数的定义表示出点C的坐标.BCD 与EAD相似，由此可以找到 与 ，与 ，与 的关系.第题，t .求 的夹角，要计算 OCBCAEADDCADAC12ODEC与OD EC OD EC.，【自主解答】(1)因为a=(2,4)，b=(1,1)，所以a+mb=(2+m,4+m)，又b(a+mb)，所以b(a+mb)=2+m+4+m=0,解得m=-3.答案：-3(2)由已知得点C是-60角终边上的点，且|OC|=|OB|+|BC|=t+1,所以点C的坐标为(t+1)cos(-60),(t+1)sin(-60)，即 所以 同理可得 13(t1,t1)22，13OCt1t122(，)，13O
19、A(,).22因为 所以 所以 所以 所以 BC tAE，1DC tAD ADAC1t，13AC OC OAtt2,22(，)3 t2tAD2 t12 t1(，)，2t13ODOAAD.2 t12 t1(，)由已知t ，所以 所以 又因为 设向量 的夹角为，则cos 所以向量 的夹角为60.122313 3OD()EC(),3344，137OD EC.6412 72 77ODEC342，ODEC与7112726，ODEC与【方法技巧】利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两 个向量的数量积.(2)求模：利用|a|=计算出这两个向量的模.(3)求余弦值
20、：由公式cos=直接求出 cos 的值.(4)求角：在0内，由cos 的值求角.22xy121222221122x xy yxyxy【变式训练】(2014湖北高考)设向量a=(3，3)，b=(1，-1)，若(a+b)(a-b)，则实数=.【解析】因为a+b=(3+，3-)，a-b=(3-，3+)，因为(a+b)(a-b)，所以(3+)(3-)+(3-)(3+)=0，解得=3.答案：3【误区警示】解题时要明确知道(a+b)(a-b)的充要条件是(a+b)(a-b)=0，不要与向量平行的充要条件弄混.【补偿训练】1.已知向量=(1,2)，=(3,m)，若则m=_.【解析】因为 =(1,2)，=(3
21、,m)，所以 =(3,m)(1,2)=(4,m2),因为 所以 =(1)4+2(m2)=0,解得m=4.答案：4 OAOBOAAB，OAOBABOB OAOAAB，OA AB2.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为_.【解析】因为A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，所以a=(2,0)(3,1)=(1,1)，b=(1,0)(2,0)=(1,0)，所以ab=(1,1)(1,0)=(1)(1)+(1)0=1,|a|=|b|=1,BCCABCCA22112，设a,b的夹角为,cos=又因为0180，所以a与b的夹角为45.答案：45 12.|22 1a b
22、a b3.已知点A(1,2)和B(4，1)，问能否在y轴上找到一点C，使ACB90，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标.【解析】假设存在点C(0，y)，使ACB90，则 因为 (1，y2)，(4，y1)，所以 4(y2)(y1)0，所以y2y20.而方程y2y20，0，所以方程无实数解，故不存在满足条件的点C.ACBC.BCACACBC,AC BC【规范解答】平面向量数量积坐标运算的综合应用【典例】(12分)(2014北京高一检测)已知点A(1,0),B(0,1)，点P(x,y)为直线y=x1上的一个动点.(1)求证：APB恒为锐角.(2)若四边形ABPQ为菱形，求的值.BQ AQ【审题
23、】抓信息，找思路【审题】抓信息，找思路【点题】警误区，促提升 失分点1：解题时，若未想到利用点在直线上消元，用x表示点 P的坐标，导致在处不能用配方法证明 则会导致 失分.失分点2：解题时，认为cosAPB0则APB恒为锐角，漏掉通 过处方程无解说明APB0，导致证明不严谨，考试时至少 扣掉2分.PA PB0，失分点3：解题时，若忽视由四边形ABPQ为菱形，则无法由向 量模相等、相等向量的几何意义推出处 考试时要扣掉46分.ABBP PQBA，【悟题】提措施，导方向 1.注意函数与方程思想的应用 解答向量坐标运算问题时，要注意函数、方程有关知识的应用.如本例中，=2x2-2x+2=2(x2-x
24、+1)，可以用二次函数的 知识求最值.解方程(x+1)(x-2)-(x-1)x=0，可以判断两个向量 是否共线.PA PB2.重视向量及其运算的几何意义的应用 在解答向量问题时，恰当利用向量及其运算的几何意义可以达 到建立向量模型解题的目的.如本例中，由四边形ABPQ为菱 形，可推出ABBP PQBA.，【类题试解】(2014温州高一检测)如图，已知=(3,1)，=(1,2)，(1)求的值及|.(2)求的坐标.OAOBOCOB BCOA.，OA OBABOC【解析】(1)=(3,1)(1,2)=3(1)+12=1.=(1,2)(3,1)=(4,1)，|=(2)设 =(x,y)，则 =(x,y)(1,2)=(x+1,y 2)，因为 所以 所以x+2y=0 因为 所以x+13(y2)=0，即x3y+7=0 联立解得x=14,y=7，故 =(14,7).OA OBABOB OAAB224117.OCBCOC OBOCOB，OC OB0，BCOA，OC
