1、第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形课后篇巩固提升基础达标练1.(2019安徽高一期中)一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A.103海里B.102海里C.203海里D.202海里解析根据已知条件画出示意图.如图所示,可知在ABC中,AB=20海里,BAC=30,ABC=105,所以C=45,由正弦定理,有BCsin30=20sin45,所以BC=201222=102(海里).故选B.答案B2.(2019黑龙江哈九中高三月
2、考(文)在ABC中,若sin 2A+sin 2Bsin 2C,则ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定解析因为在ABC中,满足sin2A+sin2Bsin2C,所以由正弦定理知sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R,R为三角形外接圆的半径,代入上式得a2+b2c2,又由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22abb2+c2,则ABC为钝角三角形B.若a2=b2+c2+bc,则A为120C.若a2+b2c2,则ABC为锐角三角形D.若ABC=123,则abc=123解析由cosA=b2+c2-a22bcc2,结合余弦定理可知cosC=a2+b2-c
3、22ab0,只能判断角C为锐角,不能判断角A,B的情况,所以ABC不一定为锐角三角形,故C错误;由ABC=123可得A=30,B=60,C=90,则abc=sin30sin60sin90=12321123,故D错误.故选AB.答案AB能力提升练1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:(ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):测量A,C,b;测量a,b,C;测量A,B,a.一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.B.C.D.解析测量A,C,b,因为知道A,C,可求出B,由正弦定理可求出c;测量a,b,C
4、,已知两边及夹角,可利用余弦定理求出c;测量A,B,a,因为知道A,B,可求出C,由正弦定理可求出c,故三种方法都可以.答案D2.在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,则()A.sinCDB=310B.ABC的面积为8C.ABC的周长为8+45D.ABC为钝角三角形解析因为cosCDB=-55,所以sinCDB=1-cos2CDB=255,故A错误;设CD=a(a0),则BC=2a,在BCD中,BC2=CD2+BD2-2BDCDcosCDB,解得a=5,所以SDBC=12BDCDsinCDB=1235255=3,所以SABC=3+53SDBC=
5、8,故B正确;因为ADC=-CDB,所以cosADC=cos(-CDB)=-cosCDB=55,在ADC中,AC2=AD2+CD2-2ADDCcosADC,解得AC=25,所以CABC=AB+AC+BC=(3+5)+25+25=8+45,故C正确;因为AB=8为最大边,所以cosC=BC2+AC2-AB22BCAC=-350),在ACD中,AC=3BC=3,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2ACCDcos3,即(13)2=32+x2-23x12,整理得x2-3x-4=0,解得x=4.因此,BD=BC2+CD2=(3)2+42=19.素养培优练(2019海南高一期中)如图,在海岸A处发现北偏
6、东45方向,距A处(3-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向,距A处2海里的C处是我方的缉私船,并奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?求出所需时间.(注:62.5,结果精确到0.1)解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船(在D点),则CD=103t海里,BD=10t海里,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=(3-1)2+22-2(3-1)2cos120=6,解得BC=6.又因为BCsinBAC=ACsinABC,所以sinABC=ACsinBACBC=2sin1206=22,所以ABC=45,故B点在C点的正东方向上,所以CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理,得BDsinBCD=CDsinCBD,所以sinBCD=BDsinCBDCD=10tsin120103t=12.所以BCD=30,所以缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中,CBD=120,BCD=30,所以D=30,所以BD=BC,即10t=6,解得t=610小时15.0分钟.所以缉私船应沿北偏东60的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15.0分钟.
