1、云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）第卷 选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用对数不等式化简集合，再利用集合之间的交集运算求得结果即可.【详解】因为 ， ，所以.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.2. 等差数列的前n项和为，且，则()A. 10B. 20C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，也成等差数列，即可得出【详解】解：由等差数列的前项和的性
2、质可得：，也成等差数列，解得故选【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C4. 在中，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量与的数量积（ ）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析
3、】把，都用，表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解【详解】解：由三角形中线性质可得：（）；（）（）220427；故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等
4、级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份ABCDE20162018由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.6. 已知条件P：是奇函数
5、；值域为R；函数图象经过第四象限则下列函数中满足条件的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义和值域的定义及其图象逐一进行判断即可.【详解】对于A选项： ,又因为的定义域为,关于原点对称,所以为定义在上的偶函数，故选项A不符合题意；对于B选项: 定义域为,所以的定义域关于原点对称,又因为,所以为奇函数，成立,当时，当时， ，故的值域为,不成立,所以选项B不符合题意；对于C选项：因为,所以的定义域为,关于原点对称,又因为,故为奇函数，因为函数的图象是由幂函数 的图象关于轴翻折得到的,所以函数值域为，图像经过第四象限，所以选项C符合题意；对于D选项:因为的定义域为
6、,关于原点对称,又因为,所以函数为奇函数,因为 ,所以函数的值域为,不符合题意.所以选项D不符合题意；故选 C【点睛】本题考查函数的基本性质奇函数的概念和值域的求解及其图象;求解本题的关键是熟练掌握函数的图象及性质;属于中档题.7. 下列命题中，是假命题的是( )A. ，B. ，C. 函数的最小正周期为D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】对于A，即，正确；对于B，故，正确；对于C， 函数最小正周期为，最小正周期，错误；对于D，根据对数运算法则知：，正确故选：C【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生
7、的综合应用能力8. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，函数有意义，可排除A；当时，函数无意义，可排除D；又当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用恒等变
8、换公式和诱导公式化简，根据平移变换得，根据为偶函数可得结果.【详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，所以，因为，所以时，取最小值.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式、诱导公式，考查了根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.10. 三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，在根据平面，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，在中，由余弦定理得，所以又由正弦定理得 ，又因为平面，且，设球的半径为，所
9、以，所以，所以球的表面积为，故选D【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径11. 已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想
10、方法，属于中档题.12. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，令，方程化为：，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2故选：【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题第卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若满足约束条件 则的最大值为_【
11、答案】【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14. 某货轮在处看到灯塔在北偏东方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到处，看灯塔在北偏东方向，此时货轮到灯塔的距离为_海里【答案】【解析】【分析】根据题意画出草图,在中利用正弦定理,即可求得的长.【详解】由题意可知,海里 .在中,根据正弦定理可得:
12、解得:海里此时货轮到灯塔的距离为海里.故答案为: .【点睛】本题考查正弦定理的实际应用和数形结合思想,能够根据题意画出图像是解决本题的关键.15. 已知直线的倾斜角为且这条直线经过点P(3,5)，则直线的一般式方程为_.【答案】或【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为所以所以直线的斜率为又因为直线经过点P(3,5)，所以直线的方程为 或，所以直线的一般式方程为或.故答案为或.【点睛】本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16. 已知数列的前项和为（），且
13、满足，若对恒成立，则首项的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，两式作差得，所以，两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若对恒成立，当且仅当.又，所以，解得：.即首项的取值范围是.17. 如图, 在中, 点在边上, .（）求；（）若的面积是, 求.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得 ，则是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由 ，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得 ，即可得到的值试题解析：() 在中, 因为, 由余弦定理得, 所以, 整理得, 解得. 所以. 所以是等边三角形. 所以() 法
14、1: 由于是的外角, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 在中, , 所以. 在中, 由正弦定理得, 所以. 法2: 作, 垂足为, 因为是边长为的等边三角形, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 所以. 在Rt中, , 所以, . 所以 . 18. 已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又
15、，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知 ，所以所以数列的前 项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题19. 如图，矩形中，平面，为上的点，且平面， （1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（）由是中点证得是中点，得中位线平行，再由线面平行的判定定理得平面；（）由等积法可得：解法一：，计算即可解法二：计算即可【详解】（）证明：依题意可知：是中点平面，则，而是中点在中，平面,平面，平面；（）解法一：平面平面，又
16、平面，平面，平面，而，解法二：，因为，【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，和三棱锥体积的计算，属于基础题.20. 中华人民共和国道路交通安全法第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 中华人民共和国道路交通安全法第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：月份违章驾驶员人数（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式： ,参考数据：.【答案】（1）；（2）49.
17、【解析】【分析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知， ， ，所求回归直线方程为.（2）令，则人.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21. 已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上（1）求公共弦的长度；（2）求圆的方程；（3）过点分别作直线，交圆于，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值【答案】（
18、1）；（2）；（3）最大值17，最小值12【解析】【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值【详解】圆，所以圆的圆心坐标，半径，（1）圆心到直线的距离，公共弦；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，即，到的距离，所以的半径，所以圆的方程：；（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，这时直线的方程为，代入到圆中，所以，四边
19、形的面积；当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，设直线为：，则直线为：，所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，设，当或1时，正好是轴及垂直轴，面积，当时，最大且，或1时，最小，四边形面积的最大值17，最小值【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题22. 已知函数.（1）若，恒成立，求的取值范围；（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.【详解】（1），为上的奇函数，单调递减，所以恒成立，可得所以恒成立即恒成立，当时，该不等式恒成立，当时，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以.（2）所以，假设存在实数，使得和都成立，设，则，若，则，解得，或，均不有理数，若，则，其中，而，所以不成立，综上所述，故不存在实数，使得，都成立.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.
