1、第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列6.2.2排列数课后篇巩固提升基础达标练1.A76-A65A54等于()A.12B.24C.30D.36解析A76-A65A54=76A54-6A54A54=36.答案D2.(2020山东济南高三月考)6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()A.24种B.36种C.48种D.60种解析第1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有A22种不同的摆放方法;第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有A22A33种不同的摆放方法.根据分步乘法计数原理,共有A22A33A22=24(种)不同
2、的摆放方法,故选A.答案A3.已知An+12-An2=10,则n的值为()A.4B.5C.6D.7解析由An+12-An2=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.答案B4.将4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有()A.A88种B.A84种C.A44A44种D.2A44种解析司机、售票员各有A44种安排方法,由分步乘法计数原理知共有A44A44种不同的安排方法.答案C5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排
3、方案共有()A.504种B.960种C.1 008种D.1 108种解析甲、乙相邻的所有方案有A22A66=1440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案有A51A22A44=240(种);满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有A51A22A44=240(种);满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有A41A22A33=48(种).故符合题设要求的不同安排方案有1440-2240+48=1008(种),故选C.答案C6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除,且无重复数字的不同的五位数有()A
4、.(2A54-A43)个B.(2A54-A53)个C.2A54个D.5A54个解析能被5整除,则个位需为5或0,有2A54个,但其中个位是5的含有0在首位的排法有A43个,故共有(2A54-A43)个.答案A7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法种.解析(方法一)若第一节排数学,共有A33=6(种)排法;若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有222=8(种)排法.根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.(方法二间接法)4节课全部可能的排法有A44=24(种),
5、其中体育排第一节的有A33=6(种),数学排最后一节的有A33=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有A22=2(种),故符合要求的排法有A44-2A33+A22=14(种).答案148.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?解(1)先排正、副班长,有A32种方案,再安排其余职务有A55种方案,由分步乘法计数原理,知共有A32A55=720(种)不同的分工方案.(2)7人中任意分工,有
6、A77种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有A42A55种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A77-A42A55=3600(种).9.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第96项是多少?(3)求这个数列的各项和.解(1)先考虑大于43251的数,分为以下三类:第1类,以5开头的有A44=24(个);第2类,以45开头的有A33=6(个);第3类,以435开头的有A22=2(个).故不大于43251的五位数有A55-(A44+A33+
7、A22)=88(个),即43251是第88项.(2)数列共有A55=120(项),96项以后还有120-96=24(项),即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项,即为45321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A44个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)A4410000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有A44个五位数,所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5)A44(1+10+100+1000+10000)=152411111=3999960.能力提升练1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数
8、字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有()A.120个B.80个C.40个D.20个解析当十位是3时,个位与百位从1,2中选,有A22种选法;当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有A32种选法;当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有A42种选法;当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有A52种选法.故伞数有A22+A32+A42+A52=2+6+12+20=40(个).答案C2.(多选)(2020山东临淄英才中学高二期中)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是()A.如果甲
9、、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有54种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种解析甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有A44=24(种),故A正确;最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有A31A33+A44=42(种),故B不正确;甲、乙不相邻的排法种数为A33A42=72(种),故C正确;甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A55A33=20(种),故D正确.故选ACD.答案ACD3.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的
10、6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有()A.300个B.464个C.600个D.720个解析(方法一)确定最高位有A51种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有A53种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有A51A53=300(个).(方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有12A51A55=300(个).答案A4.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中
11、,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是()A.1 205秒B.1 200秒C.1 195秒D.1 190秒解析由题意每次闪烁共5秒,所有不同的闪烁为A55个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至少是5A55+(A55-1)5=1195(秒).答案C5.3个人坐在有8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为.解析先排好5个空座位,再让3个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有A43=24(种)坐法.答案246.(2020天津高三月考)某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不
12、能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有种.解析从9节课中任意安排3节共有A93=504(种),其中前5节课连排3节共有3A33=18(种);后4节课连排3节共有2A33=12(种).故老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474(种).答案4747.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.解(1)先排唱歌节目有A22种排法,再排其他节目有A66种排法,所以共有A22
13、A66=1440(种)排法.(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有A66种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有A72种插入方法,所以共有A66A72=30240(种)排法.(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有A44种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A53种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A22种排法,故所求排法共有A44A53A22=2880(种)排法.素养培优练从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?解先考虑组成一元二次方程的问题:首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有A41种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有A42种,所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程A41A42=48(个).方程要有实根,必须满足=b2-4ac0.分类讨论如下:当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个进行排列,有A42个.当c0时,分析根的判别式知,b只能取5,7.当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有A22种;当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,有2A22种,此时共有(A22+2A22)个.由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有A42+A22+2A22=18(个).
