1、3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若a0,则2a+的最小值为()A.2B.3C.1D.3解析2a+=a+a+3=3,当且仅当a=,即a=1时,2a+取最小值3.答案D2.设x,y,zR+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()A.(-,lg 6B.(-,3lg 2C.lg 6,+)D.3lg 2,+)解析因为x,y,zR+,所以6=x+y+z3,即xyz8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).答案B3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.3B.2C.12
2、D.12解析因为2x0,4y0,8z0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z3=3=34=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.答案C4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为()A.9B.8C.3D.解析a0,b0,c0,且a+b+c=1,=3+3+6=3+6=9.答案A5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()A.25B.25.5C.26.1D.35解析设长方体水箱长、宽、高分别为x m,y
3、m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x+2y=xy+3=12.故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项A,B排除,而选项C,D均够用,但选项D剩较多,故选项C正确.答案C6.若a,b,c同号,则k,则k的取值范围是.解析因为a,b,c同号,所以0,于是3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k3.答案k37.若xb0,则a+的最小值为.解析因为ab0,所以a-b0,于是a+=(a-b)+b+3=3,当且仅当a-b=b=,即a=2,b=1时,a+的最小值为3.答案39.已知实数a,b,cR,a+b+c=1,
4、求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.解由三个正数的算术-几何平均不等式,得4a+4b+3=3(当且仅当a=b=c2时,等号成立).a+b+c=1,a+b=1-c.则a+b+c2=c2-c+1=,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.10.导学号26394008已知x,y均为正数,且xy,求证2x+2y+3.证明因为x0,y0,x-y0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+3=3,所以2x+2y+3.B组1.若logxy=-2,则x+y的最小值为()A.B.C.D.解析由logxy=-2得y=,因此x
5、+y=x+3.答案A2.设x0,则f(x)=4-x-的最大值为()A.4-B.4-C.不存在D.解析x0,f(x)=4-x-=4-4-3=4-.答案D3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.VB.VC.VD.V解析如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=Sh=R2h=RRh=,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.答案B4.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是.解析设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=(3x+4y+5z).因为32+42=52
6、,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=34=6,所以3x+4y+5z=26=12,所以12=3x+4y+5z3=3,所以xyz,当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时,等号成立.答案5.导学号26394009设x,y,z0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.解因为6=x+3y+4z=+y+y+y+4z6=6,所以x2y3z1.当且仅当=y=4z,即x=2,y=1,z=时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.6.导学号26394010设a1,a2,an为正实数,求证+2.证明a1,a2,an为正实数,+n=na1a2an,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.又na1a2an+2,当且仅当na1a2an=时,等号成立,+2.
