1、第二讲DIERJIANG参数方程一曲线的参数方程课后篇巩固探究A组1.与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程的是()A.x=t2,y=t-2(t为参数)B.x=sint,y=1sint(t为参数)C.x=cost,y=1cost(t为参数)D.x=tant,y=1tant(t为参数)答案D2.圆x=2+3cos,y=2+3sin(为参数)的半径等于()A.2B.4C.3D.3解析圆的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=9,故半径等于3.答案C3.参数方程x=t2+2t+3,y=t2+2t+2(t为参数)表示的曲线是()A.双曲线x2-y2=1B.双曲线x2-y2=1的右支C.双曲线x2-y
2、2=1,且x0,y0D.双曲线x2-y2=1,且x2,y1解析由已知得x2-y2=1,且x=(t+1)2+22,y=(t+1)2+11,故选D.答案D4.曲线x=cos,y=sin(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.12B.22C.1D.2解析曲线上的点到两坐标轴的距离之和d满足d2=(|sin|+|cos|)2=1+|sin2|2,且当=4,34,54,74时上式取等号,故d的最大值为2.答案D5.参数方程x=3t21+t2,y=5-t21+t2(t为参数)表示的图形为()A.直线B.圆C.线段(但不包括右端点)D.椭圆解析从x=3t21+t2中解得t2=x3-x,将其代入
3、y=5-t21+t2中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=x3-x0解得0x3.所以其对应的普通方程为2x+y-5=0(0x3),它表示一条线段,但不包括右端点.答案C6.若曲线x=1+cos,y=2sin(为参数)经过点32,a,则a=.解析依题意知1+cos=32,则cos=12,于是sin=32,a=2sin=3.答案37.已知圆的方程为x2+y2=2x,则它的参数方程为.解析x2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,设x-1=cos,y=sin,则参数方程为x=1+cos,y=sin(02,为参数).答案x=1+cos,y=sin(02,为参数)8.指出下列参数方程分别表示
4、什么曲线:(1)x=3cos,y=3sin为参数,02;(2)x=2cost,y=2sint(t为参数,t2);(3)x=3+15cos,y=2+15sin(为参数,02).解(1)由x=3cos,y=3sin(为参数)得x2+y2=9.又由02,得0x3,0y3,所以其对应的普通方程为x2+y2=9(0x3,且0y3).这是一段圆弧(圆x2+y2=9位于第一象限的部分).(2)由x=2cost,y=2sint(t为参数)得x2+y2=4.由t2,得-2x2,-2y0.所求圆的普通方程为x2+y2=4(-2x2,-2y0).这是一段半圆弧(圆x2+y2=4位于y轴下方的部分,包括端点).(3)
5、由参数方程x=3+15cos,y=2+15sin(为参数),得(x-3)2+(y-2)2=152,由02知这是一个圆.9.已知点P(2,0),点Q是圆x=cos,y=sin上一动点,求线段PQ中点的轨迹的参数方程,并说明轨迹是什么曲线.解设线段PQ的中点为M(x,y),由题意知Q(cos,sin),则x=2+cos2,y=0+sin2,即x=1+12cos,y=12sin(为参数),即所求轨迹的参数方程为x=1+12cos,y=12sin(为参数),它是以(1,0)为圆心,以12为半径的圆.10.导学号73574036设点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点.(1)求2x+y的取值范围;(
6、2)若x+y+c0恒成立,求实数c的取值范围.解圆的参数方程可表示为x=cos,y=1+sin(为参数).(1)因为2x+y=2cos+sin+1=5sin(+)+1(其中tan=2),所以1-52x+y1+5.(2)若x+y+c0恒成立,即c-(cos+sin+1)对一切R成立,且-(cos+sin+1)的最大值是2-1,则c2-1时,x+y+c0恒成立.B组1.参数方程x=sin2+cos2,y=2+sin(为参数)的普通方程为()A.y2-x2=1B.x2-y2=1C.y2-x2=1(|x|2,y0)D.x2-y2=1(|x|2,y0)解析x2=sin2+cos22=1+sin,y2=2
7、+sin,所以y2-x2=1.又x=sin2+cos2=2sin2+4-2,2,y=2+sin0,即|x|2,y0.故应选C.答案C2.导学号73574037点P(x,y)是曲线x=-2+cos,y=sin(00)的直径为4,则圆心坐标是.解析x=r+rcos,y=r2+rsin可化为x-r=rcos,y-r2=rsin.两式平方相加,得(x-r)2+y-r22=r2.2r=4,r=2,圆心坐标为(2,1).答案(2,1)4.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=3+3cos,y=1+3sin(为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为cos+6=0,则圆C截直线所得的
8、弦长为.解析圆C:x=3+3cos,y=1+3sin(为参数)表示的曲线是以点(3,1)为圆心,以3为半径的圆,将直线cos+6=0化为直角坐标方程为3x-y=0,圆心(3,1)到直线3x-y=0的距离d=|33-1|(3)2+12=1,故圆C截直线所得的弦长为232-12=42.答案425.导学号73574038已知圆C:x=cos,y=-1+sin(为参数)与直线x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为.解析(方法一)x=cos,y=-1+sin,消去,得x2+(y+1)2=1.圆C的圆心坐标为(0,-1),半径为1.圆心到直线的距离d=|0-1+a|21.解得1-2a1+2.故实数a
9、的取值范围是1-2,1+2.(方法二)将圆C的方程代入直线方程,得cos-1+sin+a=0,即a=1-(sin+cos)=1-2sin+4.-1sin+41,1-2a1+2.故实数a的取值范围是1-2,1+2.答案1-2,1+26.已知动点P,Q都在曲线C:x=2cos,y=2sin(为参数)上,对应参数分别为=与=2(02),点M为线段PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有P(2cos,2sin),Q(2cos2,2sin2),因此M(cos+cos2,sin+sin2).故点M的轨迹的参数方程
10、为x=cos+cos2,y=sin+sin2(为参数,02).(2)点M到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cos(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.7.在一次军事演习中,一台轰炸机以150 m/s的速度作水平直线飞行,在离地面飞行高度为490 m时向目标投弹(不计阻力,重力加速度g取9.8 m/s2,炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程.(2)试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标?解(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设A为投弹点,B为轰炸目标.已知炸弹运动的水平速度和垂直速度,则可以用时间t作为参数,建立参数方程.设曲线上任一点的
11、坐标为(x,y),其对应的时刻为t,则有x=150t,y=490-12gt2(t为参数).又由y0,得0t10,所以参数方程为x=150t,y=490-4.9t2(t为参数,且0t10).(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程490-4.9t2=0,解得t0=10.因此,x=150t=1500(m),即飞机在离目标的水平距离1500m处投弹才能命中目标.8.导学号73574039如图,已知定点A(2,0),点Q是圆O:x2+y2=1上的动点,AOQ的平分线交AQ于点M,当Q在圆O上运动时,求点M的轨迹的参数方程.解设点O到AQ的距离为d,则12|AM|d=12|OA|OM|sinAOM(AOM0),12|QM|d=12|OQ|OM|sinQOM(QOM0).又AOM=QOM,所以|AM|QM|=|OA|OQ|=21.所以AM=23AQ.因为点Q是圆x2+y2=1上的点,则设点Q的坐标为(cos,sin)(为参数,0),M(x,y),所以(x-2,y-0)=23(cos-2,sin-0),即x-23=23cos,y=23sin.故点M的轨迹的参数方程为x=23cos+23,y=23sin(为参数,0).
