1、习题课利用导数研究函数的单调性课后篇巩固提升1.若函数f(x)=2x3+ax2+1在区间(-,0)和(2,+)内单调递增,在区间(0,2)内单调递减,则a的值为()A.1B.2C.-6D.-12解析由于f(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax0时,解得-x0,不合题意;当a0时,解得0x0的x的取值范围为()A.B.(-,-1)C.D.(1,+)解析函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,定义域为R,且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin 2x)=-f(x),f(x)为R上的奇函数;又f(x)=ex+e-x+2cos 2x2+2cos 2x0恒成立,f(
2、x)为R上的单调增函数;又f(2x2-1)+f(x)0,得f(2x2-1)-f(x)=f(-x),2x2-1-x,即2x2+x-10,解得x,所以x的取值范围是(-,-1).故选B.答案B3.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)f(x),则f(2 020)与ef(2 019)的大小关系为()A.f(2 020)ef(2 019)D.不能确定解析构造函数g(x)=,则g(x)=,因为f(x)f(x),所以g(x)0,即函数g(x)在R上为增函数,则,f(2 020)ef(2 019).答案C4.已知函数f(x)=x2+aln x,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有4恒
3、成立,则a的取值范围为()A.4,+)B.(4,+)C.(-,4D.(-,4)解析令g(x)=f(x)-4x,因为4,所以0,即g(x)在(0,+)内单调递增,故g(x)=x+-40在(0,+)内恒成立,即a4x-x2,令h(x)=4x-x2,x(0,+).则h(x)=4x-x2h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为4,+).故选A.答案A5.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则使x2f(x)-f(1)0时,在2f(x)+xf(x)2两边同时乘以x得,2xf(x)+x2f(x)-2x0,设g(x)=x2f(x)-x2
4、,则g(x)=2xf(x)+x2f(x)-2x0恒成立,所以g(x)在(0,+)内单调递减.由x2f(x)-f(1)x2-1得x2f(x)-x2f(1)-1,即g(x)1.当x0时,函数是偶函数,同理可得x0,即函数在R上单调递增,不符合题意;当a0,得-x,由f(x)0,得x,这时函数恰有三个单调区间,故a的取值范围是(-,0).法二:函数f(x)恰有三个单调区间,f(x)=3ax2+1=0有两个不同实数解.=-43a0,得a0.答案(-,0)8.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且当x0,g(-4)=0,则不等式f(x)g(x)0得h(x)0,因此函数h(x)在(-,0)内是增函数.又因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以h(x)是一个奇函数,故h(x)在(0,+)上也是增函数,且h(4)=-h(-4)=0,所以当x-4或0x4时h(x)0,即不等式f(x)g(x)0时,0,若x(-,0),则f(x)0,所以f(x)在(-,0)内是增函数;若x,则f(x)0,所以f(x)在内是增函数.(2)当a0时,0,若x,则f(x)0,所以f(x)在内是增函数;若x(0,+),则f(x)0时,函数f(x)在(-,0)内是增函数,在内是减函数,在内是增函数;当a0时,函数f(x)在内是减函数,在内是增函数,在(0,+)内是减函数.
