1、习题课三角恒等变换的综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.sin215+cos215+sin 15cos 15的值等于()A.62B.54C.32D.1+34解析sin215+cos215+sin15cos15=1+12sin30=1+14=54.答案B2.2cos10-sin20sin70的值是()A.12B.32C.3D.2解析原式=2cos(30-20)-sin20sin70=2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20sin70=3cos20cos20=3.答案C3.若sin6-=13,则cos23+2=()A.29B.-29C.79D.-79解析因为sin6-=13,所
2、以sin2-3+=13,所以cos3+=13,所以cos23+2=2cos23+-1=219-1=-79,选D.答案D4.(多选)已知a=(cos 2,sin ),b=(1,2sin -1),2,若ab=25,则()A.sin =35B.cos 2=-2425C.sin 2=-2425D.tan+4=17解析因为ab=cos2+sin(2sin-1)=1-2sin2+2sin2-sin=1-sin=25,所以sin=35,所以A正确;因为2,所以cos=-45,所以sin2=235-45=-2425,所以B错误,C正确;所以tan=-34,所以tan+4=tan+11-tan=17.所以D正确
3、.答案ACD5.(多选)关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的四个结论,正确的是()A.最大值为2B.把函数g(x)=2sin 2x-1的图象向右平移4个单位长得到f(x)的图象C.单调递增区间为k-8,k+38(kZ)D.图象的对称中心为k2+8,-1(kZ)解析因为f(x)=2(sinx-cosx)cosx=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin2x-4-1,所以最大值为2-1,所以A错误;将g(x)=2sin2x-1的图象向右平移4个单位后得到h(x)=2sin2x-4-1=2sin2x-2-1的图象,所以B错误;由-2+2k2x-42
4、+2k,kZ,解得-8+kx38+k,kZ,即增区间为k-8,k+38(kZ),所以C正确;由2x-4=k,kZ,得x=k2+8,kZ,所以图象的对称中心为k2+8,-1,kZ,所以D正确.答案CD6.已知cos 2=45,则sin4+cos4=.解析法一:因为cos2=45,所以2cos2-1=45,1-2sin2=45,即cos2=910,sin2=110,所以sin4+cos4=4150.法二:sin4+cos4=(sin2+cos2)2-12sin22=1-12(1-cos22)=1-12925=4150.答案41507.化简2tan(45-)1-tan2(45-)sincoscos2
5、-sin2=.解析原式=tan(90-2)12sin2cos2=sin(90-2)cos(90-2)12sin2cos2=cos2sin2sin22cos2=12.答案128.函数f(x)=4cos2x2cos2-x-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.解析令f(x)=41+cosx2sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=0,即sin2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象.由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.答案29.已知tan =2.(1)求tan+4的值;(2)求sin2sin2+sin
6、cos-cos2-1的值.解(1)tan+4=tan+tan41-tantan4=tan+11-tan=2+11-2=-3.(2)sin2sin2+sincos-cos2-1=2sincossin2+sincos-(2cos2-1)-1=2sincossin2+sincos-2cos2=2tantan2+tan-2=2222+2-2=1.10.已知5sin =sin(2+),求证:2tan(+)=3tan .证明5sin=5sin(+)-=5sin(+)cos-5cos(+)sin,sin(2+)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin.因为5sin=sin(2+),所以5si
7、n(+)cos-5cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin,所以4sin(+)cos=6cos(+)sin,所以2tan(+)=3tan.能力提升练1.已知2,32,tan-4=-3,则sin =()A.55B.-55C.255D.55解析tan=tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=-12,因为2,32,所以2,故sin=15=55.答案A2.已知2,且cos-6=-45,则cos 的值为()A.35B.-45C.3-4310D.-3-4310解析因为2,所以3-656,因为cos-6=-45,所以sin-6=35,所以cos=cos-6+6=cos-
8、6cos6-sin-6sin6=-4532-3512=-3-4310.答案D3.sin101-3tan10=()A.14B.12C.32D.1解析sin101-3tan10=sin10cos10cos10-3sin10=2sin10cos104(12cos10-32sin10)=sin204sin(30-10)=14.答案A4.已知A,B,C是ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析由一元二次方程根与系数的关系,得tanA+tanB=53,tanAtanB=13,所以tan(A+
9、B)=tanA+tanB1-tanAtanB=531-13=52.在ABC中,tanC=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-520,所以C是钝角,所以ABC是钝角三角形.故选A.答案A5.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则sinx+4=;应按角度x=来截.解析设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则a2b2=32,ab=32=62,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=62,所以sinx+4=32.因为0x2,4x+434,所以x+4=3或x+4=23
10、,解得x=12或x=512.答案3212或5126.若sin2=1+sin-1-sin,0,则tan 的值是.解析1+sin-1-sin=sin2+cos2-sin2-cos2.因为0,所以022.当024时,cos2sin2,所以原式=2sin2.又原式=sin2,所以sin2=0,所以tan2=0,所以tan=2tan21-tan22=0.当42时,cos2sin2,所以原式=2cos2.又原式=sin2,所以tan2=2,所以tan=-43.答案0或-437.已知cos-2=-277,sin2-=12,且2,0,2.求:(1)cos+2;(2)tan(+).解(1)因为2,02,所以4-
11、2,-42-2.所以sin-2=1-cos2-2=217,cos2-=1-sin22-=32.所以cos+2=cos-2-2-=cos-2cos2-+sin-2sin2-=-27732+21712=-2114.(2)因为4+234,所以sin+2=1-cos2+2=5714.所以tan+2=sin+2cos+2=-533.所以tan(+)=2tan+21-tan2+2=5311.8.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0).(1)若x=6,求向量a,c的夹角;(2)当x2,98时,求函数f(x)=2ab+1的最大值.解(1)因为a=(cosx,
12、sinx),c=(-1,0),所以|a|=cos2x+sin2x=1,|c|=(-1)2+02=1.当x=6时,a=cos6,sin6=32,12,ac=32(-1)+120=-32,cos=ac|a|c|=-32.因为0,所以=56.(2)f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=2sin2x-4.因为x2,98,所以2x-434,2,所以sin2x-4-1,22,所以当2x-4=34,即x=2时,f(x)max=1.素养培优练1.已知cos4+x=35,若1712x74,求sin2x+2sin2x1-t
13、anx的值.解由1712x74,得53x+42.又cos4+x=35,所以sin4+x=-45,所以cosx=cos4+x-4=cos4+xcos4+sin4+xsin4=3522-4522=-210.从而sinx=-7210,tanx=7.则sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=2(-7210)(-210)+2(-7210)21-7=-2875.2.如图,矩形ABCD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.解过点B作BHOA,垂足为H.设OAD=02,则BAH=2-,OA=23cos,BH=sin2-=cos,AH=cos2-=sin,所以B(23cos+sin,cos),OB2=(23cos+sin)2+cos2=7+6cos2+23sin2=7+43sin2+3.由02,知32+343,所以当=12时,OB2取得最大值7+43.
