1、 湖北省黄冈中学2007 年 高 三 年 级 4 月 模 拟 考 试数学试题（文科）第卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，4，5，B=1，3，6，则集合C=2，7，8是（ ）AABBABCD2设均为第二象限角，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD3等差数列的公差d不为零，Sn是其前n项和，则下列四个命题中的假命题是（ ）A若d0，则Sn中一定有最小的项D存在，使同号4如图，P为AOB所在平面上一点，向量，且P在线段AB的垂直平分线上，向量。若|a|
2、=3，|b|=2，则c（ab）的值为 （ ）A5B3CD5已知直线m平面，直线n平面，则下列命题正确的是（ ）A若B若C若D若6在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）ABCD27从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A“至少有1个白球”与“都是白球”B“至少有1个白球”与“至少有1个红球”C“恰有1个白球”与“恰有2个白球”D“至少有1个白球”与“都是红球”8若，其中，且，则实数（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）A50B70C90D1209P是以F1、F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点
3、M的轨迹是（ ）A圆B椭圆C双曲线D抛物线10对于函数1,3,5，令集合，则集合M为（ ）A空集B实数集C单元素集D二元素集第卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置上。）11若展开式中只有第四项系数最大，那么它的常数项为 。12已知100个数据a1，a2，a3，a100的平均数是88，数据a1，a2，a3，a40的平均数为80，数据a41，a42，a43，a80的平均数为90，则数据a81，a82，a83，a100的平均数为 。13过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若，则椭圆的离心率e= 。14将棱长为3的正
4、四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为 。15如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列命题： 函数在区间内单调递减；函数在区间（4，5）内单调递增；当时，函数有极小值；当时，函数有极大值。其中正确命题的序号是 。三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16（本小题满分12分） 已知函数 （1）求函数的定义域；1,3,5 （2）若是两个膜长为2的向量a，b的夹角，且不等式对于定义内的任意实数x恒成立，求|a+b|的取值范围.17（本小题满分12分） 一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。 （1）采取放回
5、抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率。18（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知三个点列An，Bn，Cn，其中 ，满足向量与向量共线，且 （1）试用a与n表示； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。19（本小题满分12分） 在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB=BC=2，ABC=90，M为棱PC的中点。 （1）求证：点P，A，B，C四点在同一球面上； （2）求二面角AMBC的大小； （3）求过P、A、B、C四点的球面中，A、B两点的球面距离。1,3,520（本小
6、题满分13分）如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C1，D1，连接CC1与OB交于点H，且有：。其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距。 （1）当c=1时，求双曲线E的方程； （2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数。21（本小题满分14分）设函数 （1）若且对任意实数均有成立，求表达式； （2）在（1）在条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围； （3）设mn0，a0且为偶函数，证明参考答案一、选择题1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A1,3,5提示：2利用三角函数可知。故选C.3对于A 为
7、最大，故A正确. 对于C，d0，点（n，Sn）分布在开口向上的抛物线.故Sn中一定有最小的项，故C 正确. 对于D ，故选D。4设AB垂直平分线交AB于M， 5故选A.6作出不等式组表示的平面区域如图，阴影部分面积为7对于A，B，两事件不是互斥事件，对于D，两事件既是互斥的，也是对立的，故选C.8x，y均为三位数，且x+y=636，将和分为两类，一类是没有进位的，如123+513，一类是有进位的，如163+473；没有进位时，由于6=1+5=2+4=3+3，3=1+2（x，y）共有525=50个；有进位时，个位不可能进位，只能十位进百位，故十位只能为7和6，从而百位只能为1和4与2和3，（x，
8、y）共有425=40个，故总共有50+40=90个不同点.9延长F2M交F1P延长线于N，则|F2M|=|MN|，|PF2|=|PN|， 又O为F1F2的中点。 （定值）故M点轨迹是圆。10 是以4为周期. 集合M为空集.二、填空题1115 12100 13 14 15提示：11展开式中只有第四项系数最大。 n=6。故，常数项为T3=1512设所求平均数为x。则13如图，由椭圆的第二定义得 ，两式相减得。注意到直线AB的倾斜解为60。14原正四面体的表面积为 ，每截去一个小正四面体，表面减少三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少，故所得几何体的表面积为15当递增。 错；当递增，故对；
9、处左“”，右“+”，在得取极小值，故对；由 处左，右均为正值知在处无极值， 错。三、解答题16（1）若原函数有意义，则故（2）因为故函数f（x）的最大值为恒成立，只需故故17解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，“两球恰好颜色不同”共24+42=16种可能，解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验每次摸出一球得白球的概率为“有放回摸两次，颜色不同”的概率为（2）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为B，摸出两个球共有方法种，其中两球一白一黑有 18（1）又Bn在方向向量为（1，6）的直线上， （2）二次函数是开口向上，对称
10、轴为的抛物线又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列an的最小项，对称轴19（1）证明：由已知条件RtPAC中PM=MC，则MP=MC=MA则MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上，（2）以AC为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B（设平面AMB的法向量为由同理设平面BMC的法向量为所以故二面角AMBC的大小为120.（3）过P，A，B，C四点的球面的球心为，半径为在故A、B两点的球面距离为.20（1）由c=1知B（0，1）， 即 点C在单位圆上，设双曲线E的方程为 由点C的双曲线E上，半焦距c=1有： 所以双曲线E的方程为：（2）证明：A1（c，0），B（0，c），由 设双曲线E的方程为 代入，化简整理得 解得 又 ，即双曲线E的离心离是与c无关的常数。21（1），恒成立知：，a=1，从而（2）由（1）知由在2，2上是单调函数知：（3）是偶函数，为增函数，对于，当 ，是奇函数，且是在上为增函数，当mn0，m、n异号， ，综上可知
