1、6函数y=Asin(x+)的性质与图象6.1探究对y=sinx的图象的影响6.2探究对y=sin(x+)的图象的影响6.3探究A对y=Asin(x+)的图象的影响课后篇巩固提升基础达标练1.函数y=2sin2x+6+1的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析函数y=2sin2x+6+1的最大值为2+1=3.答案C2.已知函数f(x)=sinx+3(0)的最小正周期为,则f6=()A.-32B.32C.12D.-12解析由2=,得=2,此时f(x)=sin2x+3.所以f6=sin3+3=32.答案B3.函数y=3sin4-x的一个单调递减区间为()A.-2,2B.-4,34C.34,74D.
2、-34,4解析y=3sin4-x=-3sinx-4,当x-4,34时,x-4-2,2,此时y=sinx-4在区间-4,34上单调递增,而y=-3sinx-4在区间-4,34上单调递减,即单调递减区间是-4,34.答案B4.已知简谐运动f(x)=2sin3x+|2的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()A.T=6,=6B.T=6,=3C.T=6,=6D.T=6,=3解析T=2=23=6,因为图象过(0,1)点,所以sin=12.因为-20,0,直线x=4和x=54是函数f(x)=sin(x+)图象的两条相邻的对称轴,则=()A.4B.3C.2D.34解析由题意可知,函数
3、f(x)的周期T=254-4=2,故=1,所以f(x)=sin(x+).令x+=k+2(kZ),将x=4代入可得=k+4(kZ).因为0,所以=4.答案A7.(多选)关于函数f(x)=4sin2x+3(xR)的说法正确的是()A.y=f(x)的解析式可改写为y=4cos2x-6B.y=f(x)是以2为最小正周期的周期函数C.y=f(x)的图象关于点-6,0对称D.y=f(x)的图象关于直线x=-6对称解析4sin2x+3=4cos6-2x=4cos2x-6,A正确;f(x)的最小正周期为T=2=22=,B不正确;而C中f-6=0,-6,0是对称中心,故C正确;f(x)的对称直线满足2x+3=2
4、+k,即x=12+k2,kZ,将x=-6代入,k=12Z,D不正确.答案AC8.函数y=6sinx4-6的振幅是,周期是,频率是,初相是,图象最高点的坐标是.解析由题意,得A=6,T=214=8,1T=18,=-6.当x4-6=2k+2(kZ),即x=8k+83(kZ)时,函数取得最大值6.答案6818-68k+83,6(kZ)9.将函数y=12sin2x+6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)在0,4上的最大值和最小值分别为和.解析依据图象变换得函数g(x)=12sin4x+6.因为x0,4,所以4x+66,76,所以当4x+6=2时
5、,g(x)取最大值12;当4x+6=76时,g(x)取最小值-14.答案12-1410.设函数f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8.(1)求;(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值.解(1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8,则有sin4+=1,即4+=k+2(kZ),所以=k+4(kZ),又-0,则=-34.(2)令2k-22x-342k+2(kZ),则k+8xk+58(kZ),即函数y=f(x)的单调递增区间为k+8,k+58(kZ).再令2k+22x-342k+32(kZ),则k+58xk+98(kZ),即函数y=f(x)的单调递减区间为k
6、+58,k+98(kZ).当2x-34=2k+2,即x=k+58(kZ)时,函数取得最大值1;当2x-34=2k-2,即x=k+8(kZ)时,函数取得最小值-1.能力提升练1.(多选)已知函数y=sin(2x-6),以下说法正确的是()A.周期为2B.偶函数C.函数图象的一条对称轴为直线x=3D.函数在区间23,56上单调递减解析根据函数图象(图略)可知,函数的周期T=2;因为f(-x)=sin-2x-6=sin2x+6,所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数;令2x-6=2+k2,即x=3+k4,kZ,当k=0时,x=3,故函数的一条对称轴为直线x=3;函数y=sin2x-6在区间23,56上
7、单调递减,但y=sin2x-6在区间23,56上单调递增.答案AC2.(多选)(2020济南高二期中)函数f(x)=2sin(2x+)02,且f(0)=1,则下列结论中不正确的是()A.f()=2B.6,0是f(x)图象的一个对称中心C.=3D.x=-6是f(x)图象的一条对称轴解析由f(0)=1,且00)个单位长度得y=sinx2+2+2的图象.令2+2=2k+3,所以=4k-3,kZ.所以当k=1时,=113是的最小正值.答案1135.函数f(x)=Asinx-6+1(A0,0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设(0,2),f2=2,求
8、的值.解(1)因为函数f(x)的最大值为3,所以A+1=3,即A=2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为2,所以最小正周期T=,所以=2.所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x-6+1.(2)f2=2sin-6+1=2,即sin-6=12.因为02,所以-6-6116,所以-6=6或-6=56,故=3或=.素养培优练已知函数f(x)=2sinx+-6+1(00)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求f8的值;(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)
9、的单调递减区间.解(1)因为f(x)为偶函数,所以-6=k+2(kZ),所以=k+23(kZ).又0,所以=23,所以f(x)=2sinx+2+1=2cosx+1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为2,所以T=2=22,所以=2,所以f(x)=2cos2x+1,所以f8=2cos28+1=2+1.(2)将f(x)的图象向右平移6个单位长度后,得到函数fx-6的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到fx4-6的图象,所以g(x)=fx4-6=2cos2x4-6+1=2cosx2-3+1.当2kx2-32k+(kZ),即4k+23x4k+83(kZ)时,g(x)单调递减.所以函数g(x)的单调递减区间是4k+23,4k+83(kZ).
