1、专题12 三角函数基本概念与诱导公式模块一：任意角与弧度制1角的概念的推广 角：一条射线绕着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形 角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转） 在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上， 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角； 若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限 终边相同的角的集合所有与终边相同的角构成的集合2弧度制和弧度制与角度制的换算 角度制：把圆周等分，其中份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧
2、度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制 弧度与角度的换算：，3弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.考点1：任意角与弧度制例1.（1）已知第一象限角，锐角，小于的角，那么、关系是ABCD【解答】解解：第一象限角，；锐角，小于的角，故选：（2）时针走过2时40分，则分针转过的角度是ABCD【解答】解：，由于时针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为，故选：（3）有下列说法：与角的终边方向相反；与角的终边相同；与角的终边相同；设，则其中所有正确说法的序号是ABCD【
3、解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于、与角夹角为，其终边方向不相反，故错误，对于、，故两个角不是终边相同的角，故错误，对于、，为终边在轴负半轴上的角，而，也表示终边在轴负半轴上的角，故与角的终边相同，正确；对于、，中，当为偶数时，故有，正确；综合可得：正确；故选：例2.（1）下列各式不正确的是ABCD【解答】解：对于，正确；对于，正确；对于，错误；对于，正确；故选：（2）下列角位于第三象限的是ABCD【解答】解：，属于第三象限角，故角位于第三象限，故选：（3）已知集合，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是ABCD【解答】解：集合，表示第一象限的角，故选：例3.（1）在第四象限，则 所
4、在的象限为A第一象限或第三象限B第二象限或第四象限C第三象限D第四象限【解答】解：在第四象限，；，；当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角；角所在的象限为第二或第四象限故选：（2）已知锐角，那么是A小于的正角B第一象限角C第二象限角D第一或二象限角【解答】解：锐角，故选：考点2：弧度公式和扇形面积公式例4.（1）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为ABCD5【解答】解：扇形的弧长等于，所以圆锥的底面周长为，底面半径为1，圆锥的高为故选：（2）已知扇形的周长是，面积是，试求扇形的圆心角的弧度数A1B4C1或 4D1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为，半径为，
5、则，解得或故选：（3）已知扇形的周长是，（）若其面积是，求扇形的圆心角的弧度数；（）求扇形的最大面积及此时弦长【解答】解：（）设扇形的弧长为：，半径为，则，解得：，或，时，扇形的圆心角的弧度数是：，时，扇形的圆心角的弧度数是：（）设弧长为，半径为，由已知，所以，从而，当时，最大值为225，这时圆心角，可得：模块二：三角函数定义1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 比值叫做的正弦，记作，即； 比值叫做的余弦，记作，即； 比值叫做的正切，记作，即2三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知（如下表）：
6、 正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）； 余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）； 正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号） 考点3：利用定义求三角函数值及判断正负例5.（1）已知角的终边经过点，则的值是ABCD【解答】解：由三角函数定义知，则故选：（2）已知，并且是终边上一点，那么的值等于ABCD【解答】解：，并且是终边上一点，那么，故选：例6.（1）若，则在A第一、二象限B第一、三象限C第一、四象限D第二、四象限【解答】解：，可知与异号，说明在第或第四象限故选：（2）直角坐标系中，已知角的终边不在坐标轴上，则式子的值的个数为A1
7、B2C3D4【解答】解：已知角的终边不在坐标轴上，所以当的终边在：第一象限时：，第二象限时：第三象限时：，第四象限时：则式子的值有3和故选：（3）函数的值域是数集【解答】解：由题意可知不在坐标轴上，当为第一象限角时，函数；当为第二象限角时，函数；当为第三象限角时，函数；当为第四象限角时，函数函数的值域是数集，故答案为：，考点4：利用三角函数线解不等式例7.（1）在，内，不等式的解集是ABCD【解答】解：在，内，满足的的值是或，所以由函数，的图象可知，不等式的解集是，故选：（2）在，上，满足的取值范围是【解答】解：在，上，令；有，要使得的取值范围是：故答案为：（3）不等式的解集为【解答】解：结合
8、函数的图象可得不等式的解集为故答案为（4）已知点在角终边关于对称的曲线上，且，则的坐标为ABCD【解答】解：由题意可得点的横坐标为，纵坐标为，故选：课后作业：1下面表述不正确的是A终边在轴上角的集合是，B终边在轴上角的集合是C终边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线上角的集合是【解答】解：对于，终边在轴上角的集合是，故正确；对于，终边在轴上的角的集合是，故正确；对于，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，故合在一起即为，故正确；对于，终边在直线上的角的集合是，故不正确表述不正确的是：故选：2若是第二象限角，则是A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【解答】解：不妨令，则，为第一象限角，故选：3已知是锐角，那么角是A第三象限角B第二象限C小于的正角D第一、二或第三象限角【解答】解：是锐角，故选：4若，则点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：若，则，所以，所以点位于第三象限故选：5在内使成立的的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：， ，在内，故选：6已知是角终边上一点，且，求与【解答】解：因为点到原点的距离为，所以，所以，所以，所以，又易知，所以，所以，
