1、第2课时等差数列前n项和的性质及应用学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题知识点一等差数列前n项和的性质1若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.2设等差数列an的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，仍构成等差数列，且公差为m2d.3若等差数列an的项数为2n，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd，.4若等差数列an的项数为2n1，则S2n1(2n1)an1，S偶S奇an1，.思考在性质3中，an和an1分别是哪两项？在性质4中，an1是哪一项？答案中间两项
2、，中间项知识点二等差数列an的前n项和公式的函数特征1公式Snna1可化成关于n的表达式：Snn2n.当d0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的一系列孤立的点2等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，由得又因为nN*，所以当n13时，
3、Sn有最大值为169.方法三因为S8S18，所以a9a10a180.由等差数列的性质得a13a140.因为a10，所以d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练2在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值解(1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列an中，a1018，S515，所以解得a19，d3，所以an3n12，nN*.(2)因
4、为a19，d3，an3n12，所以Sn(3n221n)2，所以当n3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3S418.三、求数列|an|的前n项和例3数列an的前n项和Sn100nn2(nN*)(1)判断an是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设bn|an|，求数列bn的前n项和解(1)当n2时，anSnSn1(100nn2)100(n1)(n1)21012n.a1S110011299，适合上式，an1012n(nN*)又an1an2为常数，数列an是首项为99，公差为2的等差数列(2)令an1012n0，得n50.5，nN*，n50(nN*)当1n50时，an0，此时bn|an|an，数
5、列bn的前n项和Sn100nn2.当n51时，an0，得n0；当n18，nN*时，an0，数列an的前17项和最大(2)当n17，nN*时，|a1|a2|an|a1a2anna1dn2n.当n18，nN*时，|a1|a2|an|a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a1a2an)2n2n884.Sn等差数列前n项和公式的实际应用典例某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付
6、清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列an，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以an501 00050(n1)1%60(n1)(1n20，nN*)所以an是以60为首项，为公差的等差数列所以a1060955.5，a20601950.5.所以S20(a1a20)2010(6050.5)1 105.所以实际共付1 1051501 255(万元)素养提升(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应
7、用题，其关键在于构造合适的等差数列(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观1已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()A11或12 B12C13 D12或13答案D解析an262n，anan12(n2，nN*)，数列an为等差数列又a124，d2，Sn24n(2)n225n2.nN*，当n12或13时，Sn最大2一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是()A0.5,0.5 B0.5,1C0.5,2 D1,0.5答案A解析由于项数为
8、10，故S偶S奇1512.55d，d0.5，由1512.510a10.5，得a10.5.3(多选)设an是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值答案ABD解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6与S7均为Sn的最大值S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S90，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_答案6或7解析公差d0，|a5|a9|，a5a9，即a5a90.由等差数列的性质，得2a7a5a90，解得a70.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正Sn取得最小值时的n为6或7.5已知等差数列的前12
9、项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，则公差d_.答案5解析由题意得故S偶192，S奇162，所以6dS偶S奇30，故d5.1知识清单：(1)等差数列前n项和的一般性质(2)等差数列前n项和的函数性质2方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想3常见误区：求数列|an|的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示1在等差数列an中，a11，其前n项和为Sn，若2，则S10等于()A10 B100 C110 D120答案B解析an是等差数列，a11，也是等差数列且首项为1.又2，的公差是1，1(101)110，S10100.2若等差数列an的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3
10、m为90，则它的前2m项的和S2m为()A30 B70 C50 D60答案C解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50.3已知数列2n19，那么这个数列的前n项和Sn()A有最大值且是整数 B有最小值且是整数C有最大值且是分数 D无最大值和最小值答案B解析易知数列2n19的通项an2n19，a117，d2.该数列是递增等差数列令an0，得n9.a1a2a3a90a10S7S5，下列判断正确的是()Ad0CS12S7，a7S5，a6a70，a60，d0，B正确；S12(a1a12)6(a6a7)0，
11、C不正确；数列Sn中最大项为S6，D不正确故正确的选项是AB.5在等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2 011S2 018，SkS2 009，则正整数k为()A2 017 B2 018 C2 019 D2 020答案D解析因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011S2 018，SkS2 009，可得，解得k2 020.6已知在等差数列an中，公差d1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为_答案99解析由题意，得S奇S偶148，S偶S奇50d50，解得S偶99.7已知在等差数列an中，Sn为其前n项和，已知S39，a4a5a67，则
12、S9S6_.答案5解析S3，S6S3，S9S6成等差数列，而S39，S6S3a4a5a67，S9S65.8已知等差数列an的前n项和为Sn,7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为_答案6解析由7a55a90，得.又a9a5，所以d0，a10.因为函数yx2x的图象的对称轴为x，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.9已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一a19，d2，Sn9n(2)n21
13、0n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知a19，d20；当n6时，an5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，Tn11若数列an的前n项和是Snn24n2，则|a1|a2|a10|等于()A15 B35 C66 D100答案C解析易得an|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an0，则2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.12已
14、知等差数列an的前n项和为Sn，a211，8，则Sn取最大值时的n为()A6 B7 C8 D9答案B解析设数列an是公差为d的等差数列，则是公差为的等差数列因为8，故可得88，解得d2；则a1a2d13，则Snn214n(n7)249，故当n7时，Sn取得最大值13已知Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且(nN*)，则_.答案解析因为b3b18b6b15b10b11，所以.14已知等差数列an的前n项和为Sn，且，那么_.答案解析设S4k，S83k，由等差数列的性质得S4，S8S4，S12S8，S16S12构成等差数列所以S8S42k，S12S83k，S16S124k.所以S126
15、k，S1610k.15设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_，项数是_答案117解析设等差数列an的项数为2n1(nN*)，S奇a1a3a2n1(n1)an1，S偶a2a4a6a2nnan1，所以，解得n3，所以项数2n17，S奇S偶an1，即a4443311，为所求的中间项16已知数列an的前n项和为Sn，an0，a12,6Sn(an1)(an2)(1)求证：an是等差数列；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn0，所以anan13，所以数列an是公差为3的等差数列(2)当n1时，6S1(a11)(a12)，解得a11或a12，因为a12，所以a11，由(1)可知anan13，即公差d3，所以ana1(n1)d1(n1)33n2，所以bn，所以Tn111.
