1、抛物线及其标准方程基础练巩固新知夯实基础1在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2.抛物线y28x的焦点坐标是()A.(2，0) B.(2，0)C.(4，0) D.(4，0)3若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4D44.顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x23yB.y26xC.x212yD.x26y5已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD6.若抛物线
2、方程为7x4y20，则焦点坐标为_.7.若抛物线y22px的焦点坐标为(1，0)，则p_；准线方程是_.8.如图所示，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标能力练综合应用核心素养9抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2B4C6D410.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30方向2 km处，河流沿
3、岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)()A(2)aB2(1)aC5aD6a11.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线12.已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1 C.D.13.已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A.4 B.2C.1 D.814设
4、F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.15.以椭圆y21的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为_.16.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.17.如图，已知抛物线y22x的焦点是F，准线为l，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标.18.已知抛物线C：x22py(p0)经过点(2，1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程.(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定
5、点.【参考答案】1. B当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.2. B 解析y28x，p4，焦点坐标为(2，0).3. Dy22px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2,0)，由2得p4.故选D.4. C 解析顶点与焦点的距离等于3，2p12，又对称轴是y轴，抛物线的方程为x212y.5. C抛物线的准线方程为x2，则焦点为F(2,0)从而kAF.6.解析方程化为y2x，抛物线开口向左，2p，故焦点坐标为7. 2x1解析由y22px得焦点坐标为，1p2，准线方程x1.8. 解(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛
6、物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF，则FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则MN的方程为yx2.解方程组得所以N.9. D如图，FPM是等边三角形，由抛物线的定义知PMl.在RtMQF中，|QF|2，QMF30，|MF|4，SPMF424.故选D.10. C依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30方向2 km处，B到点A的水平距离为3(km)，B到直线l距离为：325(km)，那么修建这两条公路的总费用
7、最低为：5a(万元)，故选C.11. D 解析方法一设动点P的坐标为(x，y).则.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以动点P的轨迹为直线.方法二显然定点F(1，1)在直线l：3xy40上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.12.C 解析|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.13. C 解析如图，F，过A作AA准线l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.14. 6因为0，所以点F为ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC1
8、6.15.y24x解析由y21得，右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y24x.16.y212x解析设动点M(x，y)，设圆M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x3的距离相等，且点A不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6.圆心M的轨迹方程是y212x.17.解如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题.将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部.设抛物线上动点P到准
9、线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2，2).18.(1)解由抛物线C：x22py经过点(2，1)得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0，1).设直线l的方程为ykx1(k0).由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA，同理得B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，3).
