1、第2课时空间向量基本定理的初步应用学习目标1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想知识点一证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？答案平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题知识点二求夹角、证明垂直问题(1)为a，b的夹角，则cos .(2)若a，b是非零向量，则abab0.思考
2、怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围知识点三求距离(长度)问题( )思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？答案几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得1四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是.()2若，则A，B，C，D四点共线()3已知两个向量 ， 的夹角为 60，则 NMP60.()4如果，则四点O，P，M，N一定共面()一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCDABCD，E，F分别为AA和CC的中点求证：BFED.证明，直线BF与ED没有公
3、共点，BFED.反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.求证：A，E，C1，F四点共面证明因为，所以，共面，所以A，E，C1，F四点共面二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDCDA2，E为BC的中点(1)证明：AEBC ；(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值(1)证明因为()，所以() 22，又DA，DB，DC两两垂直， 且DBDCD
4、A2，所以0，故 AEBC.(2)解222，由222226，得.所以cos， .故直线AE与DC的夹角的余弦值为.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cosa，b，求a，b的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况跟踪训练2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCB1B1，M，N分别是AD，DC的中点求异面直线MN与BC1所成角的余弦值解()， ，所以2，又， ，所以 cos，故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.三、求距离(长度)问题例3已知平面平面，且l ，在l上有两点A，B，线段AC ，线段BD ，并且ACl ，BDl，AB6，BD24，AC8，则
5、 CD _.答案26解析平面平面，且l，在l上有两点A，B，线段AC，线段BD，ACl ，BDl ，AB6，BD24，AC8， ，2 ( )2222 6436576676，CD26.反思感悟求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题跟踪训练3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，则|等于()A.aB.aC.aD.a答案A解析()，|a.1(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是()A.2B.C.D.答案BD解析根据“xyz ，若 xy
6、z1，则点M与点A，B，C 共面”， 因为2(1)(1)01,11(1)1,11，1，由上可知，BD满足要求2设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定答案B解析在BCD中，()()20，B为锐角，同理，C，D均为锐角3如图，三棱锥SABC中，SA底面 ABC，ABBC，ABBC2，SA2，则SC与AB所成角的大小为()A90 B60C45 D30 答案B解析因为SA底面ABC，所以SAAC，SAAB，所以0，又ABBC，ABBC2，所以 BAC45 ，AC2 .因此cos 45224，所以4，又SA2，所以 SC4 ，
7、因此cos， ，所以SC与AB所成角的大小为60 .4如图，已知ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，且PA6，则PC的长为_答案7解析，|2()2|2|2|22226242322|cos 120611249.PC7.5已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.答案解析将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，b.1知识清单：(1)空间向量基本定理(2)空间向量共线、共面的充要条件(3)向量的数量积及应用2方法归纳：转化化归3常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆(2)转化目标不清：表示向量
8、时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义1已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2B2C.D答案A解析由已知得2()()0，2.2如图，已知空间四边形ABCD中，ACBD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是()A长方形B正方形C梯形D菱形答案D解析因为.同理，所以，所以四边形PQRS为平行四边形又，所以|，即PSBD.又|，故PQAC，而ACBD，所以PSPQ，故四边形ABCD为菱形3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A0 B.C.D.
9、答案A解析根据题意可得，()() ()() 2 2 24140，从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0.4在正三棱柱ABCA1B1C1 中，若ABBB1，则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是()A60 B75C90 D105答案C解析设|m，a，b，c，则ac，bc，(ac)(bc)abbcacc2mmcos 00m20，CA1 与 C1B 所成的角的大小是 90.5如图，二面角l等于，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面，内，ACl ，BDl ，且 2ABACBD2，则CD的长等于()A2B.C4 D5答案B解析二面角l等于，ACl,BDl，所以，222222222122200
10、222cos 13.即CD.6已知向量a，b满足条件|a|3，|b|4，若mab，nab，a，b135，mn，则实数_.答案解析因为mn0，所以(ab)(ab)0，所以a2(1)abb20，所以18(1)34160，解得.7如图，在空间四边形ABCD 中，ABDCBD ，ABC，BCBD1，AB，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是_答案解析依题意可知CD，()0cos 451.设直线AB与CD所成角为，则cos ，故.8如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|AA1|1，BADBAA1120，DAA160，则线段AC1的长度是_答案解析，222222211121121
11、12112，AC1.9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值解(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求，的余弦值；(2)求证：.(1)解，.因为0，0，0，所以.又|，所以cos，.(2)证明，()，所以0，所以.11在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，且xyz，则log3|xyz|等于(
12、)A3 B1C1 D3答案A解析连接AG(图略)，()()xyz，xyz，则log3|xyz|log33.12在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1底面ABC, ABBCAA1, ABC90， 点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 则直线EF和BC1所成的角是()A30 B45C90 D60答案D解析因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，所以 ()， 所以()()2 ，设所求异面直线的夹角为 ，则 cos ，所以60 .13如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_答案90解析不妨设棱长为2，则，cos，0，则，90
13、.14如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCDA1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是_(填序号) ()22()2 ；()0 ；向量与的夹角是60；BD1与AC所成角的余弦值为.答案解析以顶点A为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1，则11cos 60，()2222222111326，而 2()22()22(222)2236，所以正确()()()220，所以正确向量 ，显然AA1D为等边三角形，则AA1D60 .所以向量与的夹角是 120，向量与的夹角是 120 ，则不正确又，则|，|，()1，所以cos
14、， ，所以不正确，故正确15(多选)在四面体PABC 中，以上说法正确的有()A若，则可知 3B若Q为ABC 的重心，则C若0，0，则 0 D若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|1答案ABC解析对于A, ，32，22，2，3，即3，故A正确；对于B，若Q为ABC 的重心，则0，33， 3，即，故B正确；对于C，0，0，0，()0，0，0，0，故C正确； 对于D，()( ), |，|2.|，故D错误，故选ABC .16如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心求证：B1O平面PAC.证明如图，连接BD，则BD过点O，令a，b，c，则|a|b|c|1，且ab，()abc .(ab)|a|2abab|b|2acbc0.，即ACOB1.又bc，ab|b|2cbacbc|c|20，即OB1AP.又ACAPA，AC，AP平面PAC，OB1平面PAC.
