1、二项分布、随机变量的均值和方差【教学目标】1会求在 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率；2理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布的意义，会求其分布列，并能解决一些简单的实际问题；3理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念；4会根据离散型随机变量的分布列求出期望（均值）和方差，并能解决一些实际问题一、知识梳理 1独立重复试验一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A，每次试验中 P(A)0，这样的试验称为独立重复试验，也称为伯努利试验 2独立重复试验的概率计算公式：如果某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试
2、验中这个事件恰好发生 k 次的概率计算公式：Pn(k)=Ckn pk(1p)nk，k=0，1，2，n 3二项分布：若随机变量 X 的分布列为 Pn（X=k）=Ckn pk qnk，其中 0 p1，p+q=1，k=0，1，2，n，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作X B(n，p)4若离散型随机变量 X，当 X=xi 的概率为 P(X=xi)=pi(i=1，2，n)，则称E(X)=x1p1+x2p2+xnpn(其中 pi ，i=1，2，n，p1+p2+pn=)为随机变量 X 的均值或数学期望均值也可用 表示，它反映了 X 的5离散型随机变量的期望的性质：E(aX+b)=6超几何分布的均
3、值(数学期望)的计算公式：当 X H(n，M，N)时，E(X)=nMN 7二项分布的均值(数学期望)的计算公式：当 X B(n，p)时，E(X)=np8离散型随机变量的方差：若离散型随机变量 X，当 X=xi 的概率为 P(X=xi)=pi(i=1，2，n)，则称 V(X)=(x1)2p1+(x2)2p2+(xn)2pn 为随机变量 X 的方差，其中 pi0，i=1，2，n，p1+p2+pn=1方差也可记为 29离散型随机变量的标准差：=V(X)称为 X 的标准差方差和标准差均反映了随机变量的取值偏离于均值的平均水平10离散型随机变量的方差的计算公式：V(X)=ni=1x2ipi211离散型随
4、机变量的方差的性质：V(a X+b）=a2V(X)12超几何分布的方差计算公式：当 XH(n，M，N)时，V(X)=nM(N M)(N n)N 2(N 1)13二项分布的方差计算公式：当 XB(n，p)时，V(X)=np(1 p)特别地，当 n=1 时，即为 01 分布或两点分布14随机变量的期望与方差间的关系：V(X)=E(X2)(E(X)2二、基础训练 1一射手对同一目标独立地射击 4 次，已知每次命中目标的概率为12，则恰好命中目标 1次的概率是2掷 3 颗均匀的骰子，则恰好出现两个 6 点的概率是3甲、乙两队进行排球比赛，采用五局三胜制已知每局比赛中甲队获胜的概率为 23，乙队获胜的概
5、率为13，则在甲队以 2：0 领先的情况下，乙队获胜的概率为4一射手对同一目标独立地射击四次，已知该射手命中率大于 12，且四次中恰有两次命中的概率为 827，则此人四次射击中至少命中一次的概率是5随机变量 B(6，0.5)，那么 P(=2)=6设随机变量 X 的数学期望 E(X)=2，方差 V(X)=4，则 E(X 2)=7设 15000 件中有 1000 件次品，从中抽取 150 件进行检查，则查得次品数的数学期望为8一个袋子中装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中取出 2 个球，则其中含有红球个数的数学期望是9如果 是离散型随机变量，若 =3+2，那么 E()=，V()=10一次
6、英语单元测验由 20 道选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项正确的答案每题选择正确得 5 分，不作出选择或选择错误不得分，满分为 100 分学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙在测验中对每个题都从中随机地选择 1 个，则学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩的期望分别是、三、例题选讲 例 1某气象站天气预报的准确率为 80%，计算（结果保留两个有效数字）：5 次预报中恰有 4 次准确的概率；5 次预报中至少有 4 次准确的概率例 2设一射手平均每射击 10 次中靶 4 次，求在 5 次射击中：（1）恰好击中 1 次的概率；（2）第二次击中的概率；（3）恰好击中 2 次的
7、概率；（4）第二、三次击中的概率；（5）至少击中 1 次的概率例 3实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定 5 局 3 胜制（即 5 局中谁先赢 3 局就算胜出，并停止比赛）试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率；求按比赛规则，甲获胜的概率例 4春节期间，某鲜花店某种鲜花的进货价为每束 2.5 元，销售价为 5 元若在春节期间没有售完，则节后以每束 1.5 元处理据以前资料统计，春节期间这种鲜花的需求量 X 服从以下分布若以期望收益为标准，该花店今年春节前应进该鲜花多少束为宜？例 5甲、乙两人各进行 3 次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为 12，23 求乙至多击中目标
8、2 次的概率；记甲击中目标的次数为 Z，求 Z 的概率分布及数学期望和标准差例 6如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若n 个点中有m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为 m Sn，假设正方形 ABCD 的边长为 2，M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投掷10000个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目X200300400500p0.200.350.300.15DCBAM（I）求 X 的均值 EX；（II）求用以上方法估计 M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间
9、(0.03)，内的概率附表：10000100000()0.250.75kttttP kCk2424242525742575()P k0.04030.04230.95700.9590例 7一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 52；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 97。若袋中共有 10 个球；求白球的个数；从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量 的数学期望 E。求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于107。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。第 4 课时 二项分布、随机变量的均值
10、和方差课后作业 1将一枚硬币边掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率，则 k 的值是2 某人对一目标进行射击，每次的命中率都是 0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少要射击次3企业正常用水（24 小时用水不超过一定量）的概率为 34，在 5 天内，恰有 4 天用水正常的概率是4位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 12.质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率为。5一个盒子中有 5 个黑球，3 个白球，从中有放回地取 3 次球，记 X 是这 3 次取球中取到
11、白球的次数，则 X 的分布列为6设随机变量 的概率分布如下表，则 的数学期望 E()的最大值是012P1 23p13p13p7已知随机变量 B(n，p)，且 E()=7，V()=6，则 p=，n=8随机变量 的分布列如下：101Pabc其中abc，成等差数列，若1.3E 则 D 的值是9随机地抛掷一枚骰子，则所得的点数的数学期望是1020 件产品中有 5 件次品，从中不放回逐一抽取 8 件，取出的次品件数的方差是11某学生骑自行车上学，从家中到学校的途中有 2 个交通岗，假如他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 0.6，计算：（1）两次都遇到红灯的概率；（2）至少遇到一次
12、红灯的概率12甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球单循环赛，其中甲选手在与乙、丙、丁三位选手的比赛中获胜的概率分别为51、103、52，求：甲在本小组中胜一场的概率；甲在本小组中全胜的概率；甲在本小组中都不胜的概率13一幢楼房共 11 层，从第二层到第十层中，假设电梯在每一层停与不停是等可能的求：电梯从第二层到第十层中停止次数不少于 3 次的概率；停多少次的概率最大？14在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张无奖，某顾客从此 10 张券中任抽 2张，求：该顾客中奖的概率；该顾客获得奖品总价值 元的概率分布列和期望 E()15某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率 高考资源网。 高考资源网。 高考资源网。 高考资源网。 高考资源网。
