1、3.4 简单的三角恒等变换 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 3.4 简单的三角恒等变换双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2 _.(2)cos2 cos2 sin2 _ 1 2sin2.(3)tan2 _(k2 4且 k2，kZ)2sincos2cos212tan1tan2(4)二倍角余弦公式的变形sin2 _，cos2 1cos22.以上公式通常称为降幂公式2半角公式(不要求记忆)(1)用 cos 表示 sin22，cos22，tan22sin22 _；1cos221cos2cos22 1cos2；tan22 _.(2)用 cos 表示
2、 sin2，cos2，tan2sin2 1cos2；cos2 1cos2；1cos1costan2 _.(3)用 sin，cos 表示 tan2tan2 sin1cos _.1cos1cos1cossin你能用 tan2 表示 sin，cos 吗？思考感悟提 示：sin 2sin 2 cos 2 2sin2 cos2sin22 cos222tan21tan22.coscos22sin2 2cos22 sin22sin22 cos221tan221tan22.答案：D课前热身1(教材习题改编)下列各式中，值为12的是()Asin15cos15 B2cos2 121C.1cos302D.tan22
3、.51tan222.5答案：B2(2010 年高考大纲全国卷)已知 sin 23，则cos(2)等于()A 53B19C.19D.533(2011年江门质检)已知sin 10a，则sin70等于()A12a2B12a2C1a2Da21答案：A4若 sin22cos20，则 tan_.答案：435已知 sin(4x)35，则 sin2x 的值为_答案：725考点探究挑战高考 考点突破 运用倍、半角公式求值利用倍、半角公式求值的关键在于转化，将未知向已知转化或将非特殊角转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得解求值：(1)12sin222.5；(2)已知 tan(2)43(其中 为第二象限角)
4、，求 tan 的值4若 sin22cos20，则 tan_.例1【思路点拨】逆用倍角公式求值【解】(1)12sin222.5cos45 22.(2)tan(2)43，tan243，2tan 1tan 243，是第二象限角，tan0，tan12.【名师点评】在运用倍角、半角公式求值时，应注意二倍角公式与两角和公式的内在联系，准确理解倍角公式中角度之间的“二倍”关系，这样有助于我们灵活运用公式进行化简求值对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法三角函数式的化简(1)
5、将f()表示成关于cos 的多项式；(2)aR，试求使曲线yacosa与曲线yf()至少有一个交点时a的取值范围已知函数 f()12sin522sin2(0)例2【思路点拨】本题以函数形式给出三角函数式，第(1)问实质上是化简三角函数式，第(2)问可让两曲线方程右端相等，得方程有解既可【解】(1)f()12sin 2cos2cos2sin22sin2124cos22cossin2cos2sin22sin2124cos22coscos22124cos1cos22cos2122cos2cos1.(2)由 2cos2cos1acosa，得(cos1)(2cos1)a(cos1)0，cos1，cos1
6、0.cosa12，1a12 1，3a1.【规律小结】三角函数式化简的要求：能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数1证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等三角函数式的证明2证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果
7、已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等求证：sinxcosx1sinxcosx1sin2xtanx2.例3【思路点拨】最后要证明的实际上就是sinx2cosx2，而等式的左端的角有 x,2x，那么就要根据倍角公式把x,2x 逐步化归到x2.【证明】法一：sinxcosx1sinxcosx1sin 2xsin x12sin2x21sin x12sin2x21sin2x2sinx2cosx22sin2x22sinx2cosx22sin2x24sinx2cosx2cosxcosx2sinx2cosx2sinx2sinx2cosx2cosxcos2x2sin2x2s
8、inx2cosx2cosxcosxsinx2cosx2cosxtanx2.法二：sinxcosx1sinxcosx1sin2xsin xcosx1sinxcosx1sin2xsin2xcos x12sin 2xsin2xcos2x2cosx1sin2x1cos2xcos2x2cosx1sin2x2cosx2cos2xsin2x2cosx1cosx2sin xcos x1cos xsin x2sin2x22sinx2cosx2sinx2cosx2tanx2.【名师点评】证明三角恒等式时要注意观察分析函数名称、角在恒等式两端的异同，这样才能确定变换的方向三角恒等式的证明一般方法较多，要善于选择最简
9、捷的方法进行证明变式训练 证明：sin3xsin3xcos3xcos3xcos32x.证明：左边sin3xsinx12(1cos2x)cos3xcosx12(1 cos2x)12(cos3xcosx sin3xsinx)12cos2x(cos3xcosx sin3xsinx)12 cos2x 12cos2xcos4x12cos2x(1cos4x)cos32x右边方法技巧1三角恒等变形可以归纳为以下三步(1)找到差异：主要是指角、函数名称和运算间的差异；(2)抓住联系：即利用有关公式，建立差异间的联系；(3)促进转化：就是灵活选择公式，促使差异转化，以达到简化统一的目的(如例2)方法感悟2化简的
10、方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等(如例3)3三角恒等式的证明实质上也是一个化简过程，因此我们仍然要注意三角恒等变换思想方法的灵活运用不同于化简求值问题的地方是化简不是随意化简，而是要等于等式的另一端，因此在化简过程中，必须强化“目标意识”，也就是每化简一步要尽量向其目标靠拢(如例3)解决给式(值)求值问题要注意以下几点：(1)注意整体思想在解题中的应用；(2)注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，把待求角用已知角表示出来；(3)注意条件中角的范围对三角函数值的制约作用，确定所涉及的每一个角的范围，以免出现增、漏解失误防范考情分析 考向瞭望把脉高考 二倍角公式是高考的热点，考
11、查重点是利用二倍角公式求值，求角的大小，与三角函数的求值、化简交汇命题，既有小题，又有解答题，难度为中档，主要考查公式的灵活运用及恒等变形能力预测2012年高考仍将以二倍角公式在三角恒等变形中的应用为主要考点，重点考查转化化归的数学思想规范解答(本题满分 12 分)(2010 年高考天津卷)已知函数 f(x)2 3sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)65，x04，2，求 cos2x0 的值例【解】(1)由 f(x)2 3sinxcosx2cos2x1，得f(x)3(2sinxcosx)(2cos2x1)3
12、sin2xcos2x2sin(2x6).3 分所以函数 f(x)的最小正周期为.4 分因为 f(x)2sin(2x6)在区间0，6上为增函数，在区间6，2上为减函数，又 f(0)1，f(6)2，f(2)1，所以函数 f(x)在区间0，2上的最大值为 2，最小值为1.6 分(2)由(1)可知 f(x0)2sin(2x06)又因为 f(x0)65，所以 sin(2x06)35.由 x04，2，得 2x0623，76.9 分从而 cos(2x06)1sin22x0645.10 分所以 cos2x0cos(2x06)6cos(2x06)cos6sin(2x06)sin634 310.12 分【名师点评
13、】(1)本题易失误的是：三角变换公式不熟，没有掌握变换技巧，不能灵活而准确地化简函数式；忽略区间0，2，误得最小值为2；忽略 x 的范围，不能正确求出 cos2x0 的值(2)三角函数的求值、化简与证明的难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法突破这两个难点的关键是：要熟练灵活运用如下公式：a两角和与差的三角函数：sin()sin coscos sin；cos()cos cossin sin；tan()tan tan1tan tan.b二倍角公式：sin2 2sin cos；cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
14、；tan2 2tan 1tan2.c降幂公式：sin2 1cos22；cos2 1cos22.d辅助角公式：AsinxBcosx a2b2sin(x)，其中 sinba2b2，cosaa2b2.要把握三角函数的求值、化简与证明的常用技巧名师预测已知函数 f(x)2sinx4cosx42 3sin2x4 3.(1)求函数 f(x)的最小正周期及最值；(2)令 g(x)f(x3)，判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由解：(1)f(x)sinx2 3(12sin2x4)sinx2 3cosx22sin(x23)，f(x)的最小正周期 T2124.当 sin(x23)1 时，f(x)取得最小值2；当 sin(x23)1 时，f(x)取得最大值 2.(2)由(1)知，f(x)2sin(x23)，又 g(x)f(x3)，g(x)2sin12(x3)32sin(x22)2cosx2.g(x)2cos(x2)2cosx2g(x)，函数 g(x)是偶函数本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
