1、综合提升A级基础巩固1.下列命题中为真命题的是()A.向量AB与BA的长度相等B.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等解析:对于选项B,它们的终点构成一个球面;对于选项C,零向量不能用有向线段表示;对于选项D,向量a与向量b不相等,它们的模未必不相等,故选A.答案:A2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是()A.AB+AD+AA1B.AB-AC+BB1C.AB+A1D1+C1A1D.AC+CB1-AB解析:在选项C中,AB+A1D1+C1A1=(AB+AD)+CA=
2、AC+CA=0.答案:C3.在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则MG-AB+AD=()A.2DBB.3MGC.3GMD.2MG解析:MG-AB+AD=MG+BD=MG+2MG=3MG.答案:B4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=-c-a+b.解析:A1B=B1B-B1A1=B1B-BA=-CC1-(CA-CB)=-c-(a-b)=-c-a+b.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,用AB,AD,AA1表示MN,则MN=12AB+12AD+12AA1.解析:MN=MB+BC+CN=12AB
3、+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.(1)AB+BC-C1C;(2)AB-DA-A1A.解:(1)AB+BC-C1C=AB+BC+CC1=AC+CC1=AC1 (如图).(2)AB-DA-A1A=AA1+(AB+AD)=AA1+(A1B1+A1D1)=AA1+A1C1=AC1 (如图).B级能力提升7.设M是ABC的重心,记BC=a,CA=b,AB=c,则AM=()A.b-c2B.c-b2C.b-c3D.c-b3解析:设D是BC边的中点(图
4、略).因为M是ABC的重心,所以AM=23AD.又因为AD=12(AB+AC)=12(c-b),所以AM=13(c-b).答案:D8.在三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,E是A1B的中点,则CE=12(a+b+c).(用a,b,c表示)解析:CE=12(CA1+CB)=12(CA+CC1+CB)=12(a+b+c).9.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)AP;(2)A1N;(3)MP.解:(1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA
5、1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b.(2)因为N是BC的中点,所以A1N=A1A+AB+BN=-a+b+12BC=-a+b+12AD=-a+b+12c.(3)因为M是AA1的中点,所以MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c.C级挑战创新10.多选题设正方体ABCD-A1B1C1D1的两条体对角线AC1,A1C的交点为O,则下列结论中正确的有()A.OA+OD与OB1+OC1是一对相等向量B.OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量C.OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1是一对相反向量D.OA
6、1-OA与OC-OC1是一对相反向量解析:因为O为AC1与A1C的交点,所以BD1,B1D交于点O,所以OA=-OC1,OD=-OB1,故OA+OD=-(OC1+OB1).同理可得OB+OC=-(OD1+OA1).故OA+OB+OC+OD=-(OA1+OB1+OC1+OD1),所以A项错误,C项正确.因为OB-OC=CB,OA1-OD1=D1A1,所以OB-OC与OA1-OD1是两个相等的向量,所以B项错误;因为OA1-OA=AA1,OC-OC1=C1C=-AA1,所以OA1-OA=-(OC-OC1),所以D项正确.答案:CD11.多空题如图,在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点, 则AB+BC-DC=AD,AB-DG-CE=AF.解析:AB+BC-DC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.由题意,得BG=GD,EC=GF,故AB-DG-CE=AB+GD+EC=AB+BG+EC=AG+GF=AF.
