1、专题强化练4直线方程及其应用一、选择题1.()点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于()A.7B.5C.3D.22.()已知点A(1,3),B(-1,33),则直线AB的倾斜角为()A.60B.30C.120D.1503.()若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A.13B.-13C.-32D.234.()一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是()A.x+2y-2=0B.2x-y+2=0C.x-2y+2=0D.2x+y-2=05.()已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)
2、是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一的一组解C.存在k,P1,P2,使之恰有两组解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多组解6.()在平面直角坐标系中,记d为点P(cos,sin)到直线mx+y-2=0的距离,当,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.47.(2019广东深圳中学高二上期中,)已知函数y=loga(x-1)+2(a0,且a1)恒过定点A.若直线mx+ny=2过点A,其中m、n是正实数,则1m+2n的最小值是()A.3
3、+2B.3+22C.92D.5二、填空题8.()已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动,则m2+n2的最小值为.9.()已知A(2,1),B(1,2),若直线l:y=ax与线段AB相交,则实数a的取值范围是.10.(2020吉林长春外国语学校高二上阶段测试,)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,OAB的面积为12,则直线l的方程为.深度解析三、解答题11.()(1)求两条平行直线3x+4y-6=0与ax+8y-4=0间的距离;(2)求两条互相垂直的直线2x+my-8=0和x-2y+1=0的交点坐标.12.()已知直线l:(a+1)x+y+2-a=0(aR)
4、.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)当O(0,0)点到直线l的距离最大时,求直线l的方程.13.(2020山西晋城一中高二上期中,)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45和30角,过点P(1,0)的直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=12x上时,求直线AB的方程.答案全解全析一、选择题1.A由点到直线的距离公式可得d=|5+2|12+02=7,故选A.2.C因为直线AB的斜率为33-3-1-1=-3,倾斜角的范围是0,180),所以倾斜角为120,故选C.3.B依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有a+7=2,b+1=-2,解
5、得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为-3-17+5=-13.4.B如图所示,反射光线所在直线与直线AB的倾斜角互补.反射光线所在直线的斜率为k=-kAB=-2-00-1=2.因此所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0,故选B.5.B易知直线y=kx+1一定不过原点O,因为P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,所以OP1与OP2不平行,因此a1b2-a2b10.所以二元一次方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1一定有唯一的一组解.6.C直线mx+y-2=0过定点A(0,2),因此点P到直线距离的最大值为|PA|.|PA|=cos2+(2-sin)2=5-4sin
6、,当sin=-1时,|PA|max=9=3,故选C.7.B函数y=loga(x-1)+2(a0,且a1)过定点(2,2),2m+2n=2,即m+n=1,1m+2n=(m+n)1m+2n=3+nm+2mn3+2nm2mn=3+22,当且仅当nm=2mn=2,即m=2-1,n=2-2时取等号,故选B.二、填空题8.答案15解析P(m,n)是直线2x+y+1=0上的任意一点,m2+n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方,m2+n2的最小值为原点到直线2x+y+1=0的距离的平方,所求最小值为122+122=15.9.答案12,2解析直线l:y=ax过原点,且斜率为a,如图所示,直线l绕点O从OA
7、按逆时针旋转到OB,又kOA=12,kOB=2,直线的斜率a的取值范围是12,2.10.答案2x+3y-12=0解析解法一:根据题意知直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0,b0).则3a+2b=1,又12ab=12,ab=24.由解得a=6,b=4.故直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.解题模板过一点的直线可以设点斜式,解题时要注意斜率不存在的情况,考虑到AOB的面积与截距有关,还可设截距式,解题时,要注意a0,b0的条件.三、解答题11.解析(1)由题意可得a3=84-4-6,解得a=6.所以直线方程为6x+8y-4=0,即3x+4y-2=0.所以
8、两平行直线间的距离为|(-6)-(-2)|32+42=45.(2)由题意可得2-2m=0,解得m=1.由2x+y-8=0,x-2y+1=0得x=3,y=2,所以交点坐标为(3,2).12.解析(1)依题意得,a+10.令x=0,得y=a-2;令y=0,得x=a-2a+1.直线l在两坐标轴上的截距相等,a-2=a-2a+1,化简,得a(a-2)=0,解得a=0或a=2.因此,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.(2)直线l的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0.令x-1=0,x+y+2=0,解得x=1,y=-3.因此直线l过定点A(1,-3).由题意得,OAl时,O点到直线l的距离最大.因此,kl=-1kOA=13,直线l的方程为y+3=13(x-1),即x-3y-10=0.13.解析由题意可得kOA=tan45=1,kOB=tan(180-30)=-33,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-33x.设A(m,m),B(-3n,n),所以AB的中点Cm-3n2,m+n2,由点C在直线y=12x上,且A,P,B三点共线,得m+n2=12m-3n2,m-0m-1=n-0-3n-1,解得m=3,所以A(3,3).又P(1,0),所以kAB=kAP=33-1=3+32,所以lAB:y=3+32(x-1),即直线AB的方程为(3+3)x-2y-3-3=0.
