1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 如何求作两个非零向量的和向量？首尾相接首尾连 O BA BO AabO A B abab如何求作两个非零向量的差向量？首同尾连指被减 BAOBOAO A B ababab问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位 移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向 上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎 样表示？是 吗?请同学们自己思考.a3a3a作匀速直线运动的飞机位移与速度的关系是吗？s=tv带着上面的问题，我们进入本节课的学习！1.掌握向量的数乘运算及几何意义.2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进
2、行计算.3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线.4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想 （重点）（重点、难点）思考1：已知非零向量，如何求作向量 和（）（）（）？O A B C O M N P OC=uuur探究一：向量数乘的定义 aaaaaaaaaaaaaaaaa（）（）（）OPaaa提示:思考2：向量和(-)+(-)+(-)分别如何简化其表示形式？aaaaaa思考3：向量3 和3 与向量 的大小和方向有什么关系？O A B C O M N P aaaaaaaaaa 记为3 ，（）（）（）记为3 .aaaaaaaa提示:思考4：设为非零向量，那么 还
3、是向量吗？它们分别与向量有什么关系？a2 a2a3 和-a2 a3a2a-提示:（1）|=|；（2）0时,与方向相同；0时,与 方向相反；=0时,=.aa思考5：一般地，我们规定实数 与向量 的积是一 个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作，该向 量的长度及方向与向量有什么关系？aaaaaa aa0提示:如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ，与 分别有什么关系？BDBCADDMA B C D M 1BDBC2A D3D M解答:【即时训练】探究二：向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考1：你认为2（5），22 ，可分别转化为什么运算？a（3+2）aab-2(5)=-10 ；
4、2 2 =2(+)；(3 )=3 2a.2aaaaaabb提示:思考2：一般地，设，为实数，则()，()，()分别等于什么？abaaaa2a6)2(3a)2(3a6a?=1(a)()a （）提示:(23)aa2a32()aaa（）(23)23?aaaa提示:2()22?abab3()abab（）abba 22abA a2b2B C D E 提示:提升总结：1()()aa（）2()aaa（）3()abab（）思考3：对于向量 （）和 ，若存在实数，使 =，则向量 与 的方向有什么关系？baa0baab思考4：若向量 （）与 共线，则一定存在实数 ，使 =成立吗？abba思考5：综上可得向量共线定
5、理：向量 （）与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 =.若 ，上述定理成立吗？abbaa0提示：共线提示：一定存在提示：不成立a0a0思考6：若存在实数，使 ，则A，B，C三点的位置关系如何？ABBCABBC A，B，C三点共线提示:思考7：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线 性运算，对于任意向量，以及任意实数，x，y，(x y）可转化为什么运算？aa (xy）=x y.ababbb提示:A B P O 1()2OPOAOB如图，若P为AB的中点，则 与 ，的关系如 何？OBOAOP解答:【即时训练】例1.计算（1）（3）4；（2）3（）2（）；（3）（23 ）（32）.aaaaaac（1）
6、原式=(-34)a=-12a;（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c 解=-a+5b-2c:.bbbbc向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.计算：1 1(2a8b)(4a2b)3 22b a.【变式练习】23O 例2.如图，已知任意两个非零向量 试作 你能判断A，B，C三点之间的 位置关系吗？为什么？A B C AC=2AB分析：A，B，C三点共线.a,b，OAa b ，OBab OCab2，3.baabbb解：分别作向量 ，过点A，C作直线AC.观 察发现，不论向量 怎样变化，点B始终在直线AC 上，猜想A，B，C三点共线.事实上，因为
7、OA OB OC,AB OB OAa2b(ab)b,=-而 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b,于是 AC=2AB.所以，A,B,C三共.点线a b,根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明.1(1)ADBC;(2)ADBC3(3)ABDC,ABAD且简析:（1）平行四边形，一组对边平行且相等.（2）梯形，一组对边平行且不相等.（3）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等.【变式练习】例3.如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且 =，=，你能用,表示 ，和 吗？ABADM AMBMCM D在平行四形ABCD中，因AC=AB+AD=a+b,DB=AB-A
8、D=a-b.又因平行四形的角互相平，解:分边为为边两条对线1所以MA=-AC2111 =-(a+b)=-a-b;222brabraM A B D C abr1111MB=DB=(a-b)=a-b;2222111MC=AC=a+b;222111MD=-MB=-DB=-a+b.222 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N 在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.31ABCDMN提示：设，AB=aBCb,则 11ab,631 ab2MC113ab63（）.MN【变式练习】1.,R,()(1)0,a0,aa;(5)0,a0,aa.A.2B.3 C.4 D.5 已知则在以
9、下各命题中 正确的说法共有与 方向一定相反与 方向一定相同与 是共线向量与方向一定相同与方向一定相反个个个个D 2、已知AB a5b，BC 2a8b，CD 3(ab)，则()AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线 B解析：BC CD a5b，即BC CD AB，BD AB，即存在 1 使BD AB.BD，AB 共线又两向量有公共点 B，A，B，D 三点共线3、将 1122(2a8b)4(4a2b)化简成最简式为 ()A2ab B2ba Cab Dba 解析：原式 112(4a16b16a8b)112(416)a(168)b 112(12a24b)2ba.B 4、在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点O，ABADAO，则 _25.(2015全国卷)设向量 a,b 不平行,向量a+b与 a+2b 平行,则实数=.12定义 运算律 数乘向量应用寻求真理的只能是独自探索的人，和那些并不真心热爱真理的人毫不相干。帕斯捷尔纳克
