1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第二节 双曲线Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 2会用双曲线的定义解决问题 3会求双曲线的方程 4会求解双曲线与其他知识交汇的综合问题 考试热点 1.双曲线是高考命题的热点之一，从试题层次看，双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质的考查形式大都为选择题、填空题，难度不大 2预测2011年高考对双曲线的考查为：(1)双曲线离心率或取值范围的求法(2)双曲线的渐近线知识(3)双曲线
2、与平面向量，平面几何知识的综合题.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1双曲线的定义(1)平面内一点P与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，即 ，若常数等于|F1F2|，则轨迹是 温馨提示：若常数大于|F1F2|，则轨迹不存在|PF1|PF2|2a1)的点的轨迹，即.定点F为双曲线，定直线l为双曲线焦点该焦点对应的准线Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2双曲线的标准方程及简单几何性质 条件PM|MF1|MF2|2a，a0,2a0)，c2a2b2F
3、1(0，c)，F2(0，c)A1(0，a)，A2(0，a)A1(a,0)，A2(a,0)x轴，y轴|A1A2|2a|B1B2|2bCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 准线方程渐近线方程 共渐近线的曲线系方程 通径Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3.双曲线中的几何量及其他问题(1)实轴|A1A2|，虚轴|B1B2|，焦距|F1F2|，且满足.(2)离心率：e(3)焦点到相应准线的距离：p.(4)焦点在x轴上的双曲线的焦半径：|PF1|(x00)，|PF2|(x00)；或|PF1|(x00)，|PF2|(x00)2a2b2cc2a2b2ex0ae
4、x0aex0aex0aCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (5)等轴双曲线方程：或.其渐近线方程为，离心率.(6)共渐近线0的双曲线系方程为：_(7)与互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相同的焦距yxCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1若1表示双曲线，则k的范围是()Ak1 C1k1 Dk1 解析：方程表示双曲线的充要条件是：(1k)(1k)1或ka，得|b2c22a2c2|1，即|1 3e2|1，解得 e(1，62)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 双曲线的定
5、义及其应用 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析 如图 1，设双曲线另一焦点为 F，有 F(2,0)，F(2,0)，连 AF交双曲线右支于 P1，连 P1F，则|P1F|P1F|2a2，于是(|PA|PF|)min|P1A|P1F|P1A|(|P1F|2)|AF|2 262.图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设双曲线右准线为 l，有 l：x12，作 AHl 于 H，交双曲线右支于 P2，连 P2F，则|P2F|P2H|e2，所以|P2H|12|P2F|，于是|PA|12|PF|min|P2A|12|P2F|P2A|P2H|AH|3125
6、2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 准确地把握双曲线的两个定义并能灵活地运用它们来解题Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由题意得，|PF1|PF2|2，且|PF1PF2|，由此解得，|PF1|6，|PF2|4，又|F1F2|2 1122 13，且|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，即 PF1PF2，则PF1F2 的面积是12|PF1|PF2|126412.所以应选 B.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 求双曲线的标准方程 例2
7、焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为xy0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 利用共渐近线的双曲线系方程可以简化解题过程因双曲线的渐近线方程为 3xy0.故设双曲线方程为 3x2y2(0)，当 0 时，a23，b2，c2a2b243，焦点坐标为23，0.根据点到直线的距离公式有32323，得 9，此时双曲线方程为x23 y291.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 当 0 时，双曲线方程可化为 y2 x231，即 a2，b23，c2a2b243，故焦点坐标为0，23.根据点到直线的距离公式有33
8、，得 27，此时双曲线方程为y227x29 1.拓展提升(1)必须对进行讨论；(2)当0时，要将方程化为标准形式，否则容易导致错误Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升(1)必须对进行讨论；(2)当1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和s c，求双曲线的离心率e的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 直线 l 的方程为xayb1，即 bxayab0.由点到直线的距离公式，且 a1，得点(1,0)到直线 l 的距离d1b(a1)a2b2同理可得点(1,0
9、)到直线 l 的距离 d2b(a1)a2b2.sd1d22aba2b22abc，又 s45c 得2abc 45c，即 5a c2a22c2，于是得：5 e212e2，得 4e425e2250.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解得 e254，5，又 e1，e 的范围是 e 52，5Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 要解决双曲线中有关离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出离心率 eca的关系式，这里应和椭圆中 a，b，c 的关系区分好，即 c2a2b2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版
10、必究 已知双曲线1(a0，b0)，双曲线斜率大于零的渐近线l交双曲线的右准线于P点，F(c,0)为右焦点(1)求证：直线PF与渐近线l垂直；(2)延长FP交左准线于M，交双曲线左支于N，使M为PN的中点，求双曲线的离心率Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)证明：由对称性不妨设渐近线 l 为 ybax，则 P(a2c，abc)，又 F(c,0)，kPFabc 0a2c cab，又klba，kPFkl1，PFl.直线 PF 与渐近线 l 垂直Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)解：PF 的方程为 yab(xc)，又左准线为 xa2c，M(a2
11、c，a(a2c2)bc)又M 是 PN 的中点，N(3a2c，a(3a2c2)bc)，N 在双曲线上，9a2c2 a2(3a2c2)2b4c21，即9e21e2(3e2e21)21，令 te2，则 t210t250，t5，即 e 5.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 双曲线方程的综合应用 例 4 若 F1、F2分别为双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的下、上焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的下支上，点 M 在上准线上，且满足F2OMP，F1MF1P|F1P|F1O|F1O|(0)(1)求双曲线的离心率；(2)若此双曲线过 N(3，2)，求此双曲线的方程；(3)在
12、(2)的条件下的双曲线的虚轴端点分别为 B1，B2(B2在 x 轴的正半轴上)，点 A，B 在该双曲线上，且B2A B2B，求B1AB1B时直线 AB 的方程 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 第(1)问先由向量关系判断四边形OF1PM的形状，进而得到a，c的关系，求出离心率第(2)问设出双曲线方程，将N点坐标代入得到；第(3)问，先设出直线方程，与双曲线方程联立，再由根与系数的关系得到Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)F2O OF1 MP，四边形 OF1PM 为平行四边形又F1M F1P|F1P|F1O|F1O|，四边形 OF
13、1PM 为菱形|PF1|OF1|c，|PF2|2ac，e|PF2|PM|2acc2e1，e2.(2)e2，b23a2，y2a2 x23a21，将点 N(3，2)代入得 a23，此双曲线的方程为y23 x291.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)由B2A B2B 知直线 AB 过 B2，若 AB 的斜率不存在，则 AB 的方程为 x3，检验知不满足B1A B1B，设 AB 的方程为 yk(x3)，联立方程yk(x3)y23x29 1，得(3k21)x218k2x27k290.由B1A B1B 0，得90k2183k21 0，解得 k 55，检验知 0，直线 AB 的
14、方程为 x 5y30.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上(即把线段的关系化为横坐标或纵坐标之间的关系)是常用的简化问题的手段；有关弦交点的问题，常常用到“设而不求”的方法，判别式和根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知双曲线 x2y22 的右焦点为 F，过点 F 的动直线与双曲线相交于 A，B 两点，点 C 的坐标是(1,0)(1)证明：CA CB 为常数；(2)若动点 M 满足CM CA CB CO(其中 O 为坐标原点)，求点 M 的
15、轨迹方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：由条件知 F(2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)当 AB 与 x 轴垂直时，可设点 A，B 的坐标分别为(2，2)，(2，2)，此时CA CB(1，2)(1，2)1.当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 yk(x2)(k1)，代入 x2y22，有(1k2)x24k2x(4k22)0，则 x1，x2 是上述方程的两个实根，所以 x1x2 4k2k21，x1x24k22k21，于是CA CB(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x12)(x22)Copyright 2004-
16、2009 版权所有 盗版必究(k21)x1x2(2k21)(x1x2)4k21(k21)(4k22)k214k2(2k21)k214k21(4k22)4k211.综上所述，CA CB 为常数1.(2)设 M(x，y)，则CM(x1，y)，CA(x11，y1)，CB(x21，y2)，CO(1,0)，由CM CA CB CO 得：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 于是 AB 的中点坐标为x22，y2.当 AB 不与 x 轴垂直时，y1y2x1x2y2x22 2 yx2(x2)，即 y1y2 yx2(x1x2)又因为 A，B 两点在双曲线上，所以 x21y212，x22y2
17、22，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(x1x2)(x2)(y1y2)y.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 将 y1y2yx2(x1x2)代入上式，化简得 x2y24(x2)当 AB 与 x 轴垂直时，x1x22，求得 M(2,0)，也满足上述方程所以点 M 的轨迹方程是 x2y24.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1对于双曲线的定义，要在训练的过程中加强理解和掌握熟练掌握双曲线的标准方程，能运用定义和标准方程解决有关问题，会用已知的定义解题2类比双曲线与椭圆的性质时，要突出双曲线的渐近线，特别是由渐近线方程求双曲线方程时，不能直接写出双曲线方程，如渐近线方程是xayb0 要把双曲线方程写成：x2a2y2b2，再根据已知确定 的值，求出双曲线方程若求得 0，则焦点在 x 轴上，若求得 0，则焦点在 y 轴上Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算并要特别注意焦点位置防止将焦点坐标和准线方程写错 4涉及与焦点、准线有关的问题时，常考虑用定义求解，但应注意点在哪一支上Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
