1、2016-2017学年山东省潍坊市青州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在导数定义中“当x0时，f（x0）”中的，x的取值为（）A正值B负值C正值、负值或零D正值或负值，但不能为零2已知复数z满足（1i）z=i，则复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3以下式子正确的个数是（）（）=（cosx）=sinx （2x）=2xln2 （lgx）=A1个B2个C3个D4个4已知自然数x满足3A2A=6A，则x（）A3B5C4D65在平面几何里有射影定理：设三角形AB
2、C的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BDBC拓展到空间，在四面体ABCD中，AD面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）ASABC2=SBCOSBCDBSABD2=SBODSBOCCSADC2=SDOCSBOCDSBDC2=SABDSABC6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）AB aCD a7已知复数z=（a2）（a3）+（a21）i（i为虚数单位aR）则“a=2”是“复数z为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
3、件D既不充分也不必要条件8函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点9古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A16=3+13B25=9+16C36=10+26D49=21+2810已知n=x2dx，若（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x
4、3+a4x4+anxn，则a0+a1+a3+a5=（）A364B365C728D73011把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A36B48C60D8412已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f+f=（）A2017B2016C2D0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 14用0，1，2，3，4这五个数
5、字可以组成 个重复数字的四位奇数15AOB在平面内，OC是平面的一条斜线，若已知AOB=BOC=COA=60，则OC与平面所成的角的余弦值等于 16设过曲线f（x）=exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=1lnxx2（）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角的取值范围18在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点（1）求
6、证：CF平面A1DE；（2）求二面角A1DEA的余弦值19观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81照此规律下去（）写出第6个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD=，DAB=，PDAD，PDDC（）证明：BC平面PBD；（）若二面角PBCD为，求AP与平面PBC所成角的正弦值21已知函数f（x）=lnxax2+x，aR（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ax1恒成立
7、，求整数a的最小值（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x22016-2017学年山东省潍坊市青州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在导数定义中“当x0时，f（x0）”中的，x的取值为（）A正值B负值C正值、负值或零D正值或负值，但不能为零【考点】61：变化的快慢与变化率【分析】x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，即可得出结论【解答】解：x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，故选D2已知复数z满足（
8、1i）z=i，则复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：（1i）z=i，（1+i）（1i）z=i（1+i），2z=i1，z=+i则复数=i在复平面内的对应点位于第三象限故选：C3以下式子正确的个数是（）（）=（cosx）=sinx （2x）=2xln2 （lgx）=A1个B2个C3个D4个【考点】63：导数的运算【分析】根据题意，依次对四个式子的函数求导，即可得判断其是否正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于、=x1，则（）=（x1）=
9、，故错误；对于、（cosx）=sinx 正确；对于、（2x）=2xln2，正确；对于、（lgx）=，故错误；综合可得：正确；故选：B4已知自然数x满足3A2A=6A，则x（）A3B5C4D6【考点】D4：排列及排列数公式【分析】利用排列数公式构造关于x的方程，由此能求出结果【解答】解：自然数x满足3A2A=6A，3（x+1）x（x1）2（x+2）（x+1）=6（x+1）x，整理，得：3x211x4=0，解得x=4或x=（舍）故选：C5在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BDBC拓展到空间，在四面体ABCD中，AD面ABC，点O是A在面BCD内
10、的射影，且O在BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）ASABC2=SBCOSBCDBSABD2=SBODSBOCCSADC2=SDOCSBOCDSBDC2=SABDSABC【考点】F3：类比推理【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若ABC中，ABAC，ADBC，D是垂足，则AB2=BDBC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥ABCD中，AD面ABC，AO面BCD，O为垂足，则（SABC）2=SBOCSBDC【解答】解：由已知在平面几何中，若ABC中，
11、ABAC，AEBC，E是垂足，则AB2=BDBC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥ABCD中，AD面ABC，AO面BCD，O为垂足，则（SABC）2=SBOCSBDC故选A6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）AB aCD a【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】以D为原点，DA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出B1M与D1N所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则B1（2，2，2），M（
12、1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），=（1，1，2），=（1，0，2），设B1M与D1N所成角为，则cos=|cos|=B1M与D1N所成角的余弦值为故选：A7已知复数z=（a2）（a3）+（a21）i（i为虚数单位aR）则“a=2”是“复数z为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】复数z为纯虚数（a2）（a3）=0，a210，解出即可判断出结论【解答】解：复数z为纯虚数（a2）（a3）=0，a210，解得a=2或3“a=2”是“复数z为纯虚数”的充分不必要条件故选：A8函数f（x）
13、的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f（a）=0，f（b）=0，f（c）=0，f（d）=0xa，函数是增函数，x（a，b）函数是减函数，x（b，c），函数在增函数，x（c，d）函数在减函数，xd，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d故选：C9古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、1
14、0、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A16=3+13B25=9+16C36=10+26D49=21+28【考点】F1：归纳推理【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21“正方形数”的规律为1、4、9、16、25，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可得出最后结果【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方
15、形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49故选D10已知n=x2dx，若（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+anxn，则a0+a1+a3+a5=（）A364B365C728D730【考点】DB：二项式系数的性质【分析】n=x2dx=6，（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+，分别令x=1，x=1，相减即可得出【解答】解：n=x2dx=6，（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+，令x=1可得：36=a0+a1+a2+a3+a6，令x=1可得：1=a0a1+a2a3+a6，相减可得：a0+a1+a3+a5=（36
16、1）=364故选：A11把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A36B48C60D84【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有23=6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩
17、下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有23=6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4（6+6）=48种，第二类，第5球不独占一盒，先放14号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；94=36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种故选：D12已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f+f=（）A2017B2016C2D0【考点】63：导数的运算【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=acosx+3bx2，则f（x）为偶函数，则f=f=0，由f（x
18、）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b20163+1，f（2016）=asin2016b20163+1，则f=2，则f+f=2+0=2，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是【考点】MD：平面的法向量【分析】设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），可得，即可得出平面ABC的一个单位法向量=【解答】解： =（1，1，0），=（1，0，1），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，1，1）则平面ABC的一个单位法向量=故答
19、案为：14用0，1，2，3，4这五个数字可以组成36 个重复数字的四位奇数【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分3步进行分析：、在1、3中任选一个，安排在个位，、0不能在首位，则需要在剩下的3个数字中任选1个，、在剩下的3个数字中任选2个，安排在其他2个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分3步进行分析：、要求四位数为奇数，其末位数字为1、3，有2种情况，、0不能在首位，则需要在剩下的3个数字中任选1个，有3种情况，、在剩下的3个数字中任选2个，安排在其他2个数位，有A32=6种情况，则一共有236=36种情况，即有36个四位奇数，故
20、答案为：3615AOB在平面内，OC是平面的一条斜线，若已知AOB=BOC=COA=60，则OC与平面所成的角的余弦值等于【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，H为P在平面上的射影，由已知条件推导出POH为OC与平面所成的角，由此能求出结果【解答】解：如图所示，设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，H为P在平面上的射影，AOB=BOC=COA=60，OH平分AOB，POH为OC与平面所成的角，cosPOH=故答案为：16设过曲线f（x）=exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线
21、l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为1，2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数f（x）=exx的导函数，进一步求得（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2转化为集合间的关系求解【解答】解：由f（x）=exx，得f（x）=ex1，ex+11，且k1k2=1，（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g（x）=a2sinx，又2sinx2，2，a2sinx2+a，2+a，要使过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax
22、+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则，解得1a2即a的取值范围为1a2故答案为：1，2三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=1lnxx2（）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角的取值范围【解答】解：（1）f（x）=1lnxx2，f（x）=x，x=1时，f（1）=，f（1）=，曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=（x1），
23、即10x+8y17=0；（2）x0，f（x）=x1，曲线C在点P处切线的斜率为x，倾斜角的取值范围为（，18在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点（1）求证：CF平面A1DE；（2）求二面角A1DEA的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）如图所示取A1D的中点G，连接GF，GE，利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：四边形CEGF为平行四边形即CFGE利用线面平行的判定定理即可证明结论（2）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，可得=
24、（2，1，2）又=（0，0，2）是平面ADE的法向量，设二面角AA1DA的平面角为，则cos=【解答】（1）证明：如图所示取A1D的中点G，连接GF，GE，则GFA1D1，A1D12CE，四边形CEGF为平行四边形CFGE又CF平面A1DE，GE平面A1DE，CF平面A1DE（2）解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则D（0，0，0），A（2，0，0），E（1，2，0），A1（2，0，2），=（2，0，2），=（1，2，0），设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（2，1，2）又=（0，0，2）是平面ADE的法向量，设二面角AA1DA的平面角为，则c
25、os=二面角AA1DA的余弦值为19观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81照此规律下去（）写出第6个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理【分析】（I）根据式子的开始项和最后一项及右边特点得出；（II）验证n=1猜想是否成立，再假设n=k成立，推导n=k+1成立即可【解答】（I）解：第6个式子为6+7+8+9+16=121（II）猜想：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，证明：（1）当n=1时，猜想显然成立；（
26、2）假设n=k时，猜想成立，即k+（k+1）+（k+2）+（3k2）=（2k1）2，则当n=k+1时，（k+1）+（k+2）+（k+3）+（3k2）+（3k1）+3k+（3k+1）=（2k1）2k+（3k1）+3k+（3k+1）=4k2+4k+1=（2k+1）2=2（k+1）12，当n=k+1时，猜想成立所以，对于任意nN+，猜想都成立20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD=，DAB=，PDAD，PDDC（）证明：BC平面PBD；（）若二面角PBCD为，求AP与平面PBC所成角的正弦值【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明
27、BCBD，PDBC，即可证明BC平面PBD；（2）确定PBD即为二面角PBCD的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值【解答】（1）证明：AB=2，AD=，DAB=，BD=1AB2=AD2+BD2，ADBD，BCBDPDAD，PDDC，PD底面ABCD，PDBC又PDBD=D，BC平面PBD；（2）解：由（1）所证，BC平面PBD，所以PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD=而BD=1，所以PD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（，
28、0，0），B（0，1，0），C（，1，0），P（0，0，）所以=（，0，），=（，0，0），=（0，1，），设平面PBC的法向量为=（a，b，c），可解得=（0，1），AP与平面PBC所成角的正弦值为sin=|=21已知函数f（x）=lnxax2+x，aR（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ax1恒成立，求整数a的最小值（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得函数的导数，令导数小于0，解二次不等式，注意x0，可得单调减
29、区间；（2）由题意先求函数的定义域，再求导g（x）=f（x）a=ax+1a=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性（3）结合（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2ln（x1x2），构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=lnxx2+x，（x0），f（x）=2x+1=，f（x）0可得2x2x10，又x0，解得x1，即有f（x）的减区间为（1，+），增区间为（0，1）；（2）f（x）ax1恒成立，可得lnxax2+xax+10恒成立，令g（x）=lnxax2+xax+1，g（x），当a0时，x0，ax2+（1a）x+10，g（x）0g（x）在（0，+）
30、单调递增，且g（1）=，此时不等式f（x）ax1不恒成立当a0时，g当）时，g（x）0，x时，g（x）0g（x）在（0，）递增，在（）d递减，故g（x）max=g（）=令h（a）=，（a0），显然函数h（a）在（0，+）递减且h（1）=整数a的最小值为2（3）证明：由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2ln（x1x2），令t=x1x2，则由（t）=tlnt，由x10，x20，即x1+x20（t）=t0可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得：x1+x2或x1+x因为x10，x20，因此x1+x2成立2017年6月30日
