1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-2=-2,故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.答案B2.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)解析因为点P(-2,
2、4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).答案C3.已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,56解析因为l1:xcos2+3y+2=0的斜率k1=-cos23-33,0,当cos=0时,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为12,由l1l2,k10时,可知直线l2的斜率k=-1k13,此时倾斜角的取值范围为3,2.综上可得l2倾斜角的取值范围为3,2.答案C4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=
3、4B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=4解析根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上,且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.答案A5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为()A.82-8B.82+8C.82D.122解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,机器人的运行轨迹方程为(x-3)2
4、+(y+3)2=64,如图所示;A(-10,0)与B(0,10),直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=828,最近距离为82-8.答案A6.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点,F1、F2是焦点,双曲线的离心率是43,且F1PF2=90,F1PF2的面积是7,则a+b等于()A.3+7B.9+7C.10D.16解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,a=3,c=4.b=c2-a2=7.a+b=3+7.答案A7
5、.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a28hB.a24hC.a22hD.a2h解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如右图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x2=-2py(p0).该抛物线经过点a2,-h,代入抛物线方程可得a24=2hp,解得p=a28h.桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a28h.答案A8.平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得MAB为直角三角形的点M的个数是
6、()A.1B.2C.3D.4解析根据题意,如图,若MAB为直角三角形,分3种情况讨论:MAB=90,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则kl1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=2121001,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;AMB=90,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的
7、坐标为(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2=2.4340,则有2-1|OC|0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1
8、=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.答案ABC10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.8解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距
9、离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为0,6.答案ABC11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|2解析设P(x,y),则kPA+kPB=2,即yx+2+yx-2=2(x2),整理得x2-xy=4(x2),所以曲线C是中心对称图形,不是轴对称图形,故C正确,A错误;由x2-xy=42=x2+y2,所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B正确;由x2-xy=4可
10、知,xR且x0,x2,故D错误.答案BC12.已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2为其左右焦点,且F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.P点纵坐标为3B.F1PF22C.F1PF2的周长为4(2+1)D.F1PF2的内切圆半径为32(2-1)解析设P点坐标为(x,y),S=122c|y|=124|y|=3,得y=32或y=-32,故A错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b2tan2(为焦点三角形的顶角),S=4tan2=3,得tan2=34,则24,F1PF20,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;
11、(2)当F1PF2=60时,PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F2到渐近线距离为|bc0|b2+a2=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=43a,故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0.(2)因为F1PF2=60,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2.又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2,相减得|PF1|
12、PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=12|PF1|PF2|sin60=344b2=3b2=483,得b2=48.由(1)得a2=916b2=27,故所求双曲线方程是x227-y248=1.20.(12分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于B,C两点,求证:以BC为直径的圆必过坐标原点.(1)解抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.
13、(2)证明设直线l:x=my+4,B(x1,y1),C(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,判别式为16m2+640恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y124y224=16,即有x1x2+y1y2=0,则OBOC,则以BC为直径的圆必过坐标原点.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中有曲线:x2+y2=1(y0).(1)如图1,点B为曲线上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图1,点B为曲线上的动点,点A(2,0),求三角形OAB的面积最大值,并求出对应B点的坐标;(3)如图2,点B为曲线上的动点,点A(2,0),将
14、OAB绕点A顺时针旋转90得到DAC,求线段OC长度的最大值.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y00,设线段AB的中点为点M(x,y),由于点B在曲线上,则x02+y02=1,因为点M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y,代入式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y0.(2)设B(x0,y0),02)上运动,问题转化为原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交右半圆D于点C,当点C与点C重合时,|OC|取最大值,且|OC|max=|OD|+1=22+1.22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴
15、对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的,三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)面积为S椭圆=ab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.解(1)建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b,设内椭圆短轴长为b,焦距长为c,得ca=cb,c=bca,b2=b2-c2=b2-b
16、2c2a2=b2(a2-c2)a2=b4a2.内椭圆的方程为y2b2+x2b4a2=1.图中标记的,三个区域面积彼此相等,由对称性只需S外=3S内,即ab=3b.b2a得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),故e=63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,a=3,又e=63,c=6,b2=3.则外椭圆方程为x29+y23=1.设点M(x0,y0),切线方程为y-y0=k(x-x0),代入椭圆方程得,(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-9=0.=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)3(y0-kx0)2-9=0.化简得(x0-9)k2-2x0y0k+y02-3=0.两条切线互相垂直,k1k2=-1,即y02-3x02-9=-1,即x02+y02=12(x03).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,3),(-3,3)也满足方程,轨迹方程为x2+y2=12.
