1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第六节 三角函数的性质 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，掌握三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性考试热点1.以考查三角函数的图象和性质为主，同时考查图象的变换和解析式的确定，以及通过图象描绘、观察、讨论有关性质2以三角函数为载体，考查数形结合的思
2、想3从近几年的试题来看，一是以选择题、填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换，且常与向量结合进行综合考查.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1三角函数的性质解析式ysinxycosxytanx图象定义域RRx|xR，且xk，kZCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析式ysinxycosxytanx值域和最值1,1当x 2k 2(kZ)时，ymin1；当x 2k 2(kZ)时，ymax11,1当 x2k(kZ)时，ymax1；当 x2k
3、(kZ)时，ymin1R无最大值和最小值周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析式ysinxycosxytanx单调性在2k2，2k2上是增函数；在2k2，2k32 上 是 减 函 数(kZ)在2k，2k 上 是 增函数；在 2k，2k 上 是 减函数(kZ)在(k2，k 2)内是 增 函 数(kZ)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2.三角函数的性质的求法 求三角函数的性质，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，如yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)，它们的性质在0
4、的条件下，令tx转化为相应三角函数性质讨论(1)yAsin(x)、yAcos(x)的周期T.yAtan(x)的周期T.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当 k 时，yAsin(x)，yAcos(x)，(A0)分别为奇函数和偶函数(kZ)当 k2时，yAsin(x)，yAcos(x)，(A0)分别为偶函数和奇函数(kZ)如 ysin(32x)为偶函数，因为 ysin(32x)cosx，前面系数“”不改变奇偶性Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把“x”看作一个整体，比如：由 2
5、k2x2k2(kZ)，解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k 2x2k32(kZ)，解出 x 的范围，所得区间为减区间Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 注意：这实际上是利用复合函数的单调性判断求解，若0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4函数f(x)sinxcosx(x，0)的单调递增区间是()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知函数(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的对称轴方
6、程；(3)求f(x)的单调区间Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)令 2k2x42k，则 k8xk38，kZ.令 2k2x42k，则 k58 xk8，kZ.故 f(x)的单调增区间为k58，k8，kZ.f(x)的单调减区间为k8，k38，kZ.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 三角函数的定义域问题 例1 求函数f(x)logsinx(12cosx)的定义域 分析 要使对数函数有意义，应使真数大于0，底数大于0且不等于1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓
7、展提升 解三角不等式一般用图象或三角函数线两种方法来解先求一个周期内满足条件的角，再加周期即可Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009滨州调研)函数ylg(cosxsinx)的定义域为_ 解析：由cosxsinx0得cosxsinx，观察同一坐标系内ycosx和ysinx的图象，如图1所示，图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在一个周期(，)上，满足 cosxsinx 的 x(34，4)，又正弦函数和余弦函数的周期为 2k，所以在 R 上，满足条件的 x(2k34，2k4)，kZ.即函数的定义域为(2k34，2k4)，kZ.Copyri
8、ght 2004-2009 版权所有 盗版必究 三角函数的值域与最值、周期性问题 例2(2009北京高考)已知函数f(x)2sin(x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值 分析 根据诱导公式和二倍角的正弦公式将函数解析式变换为一个角的三角函数，然后根据三角函数的基本性质解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)因为 f(x)2sin(x)cosx2sinxcosxsin2x，所以函数 f(x)的最小正周期为.(2)由6x2得32x，所以 32 sin2x1.即 f(x)的最大值为 1，最小值为 32.Copyright
9、 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式，将其化为yAsin(x)h的形式，一般要求A0，0(当然这不是绝对的)，然后根据yAsin(x)的性质解决问题考生容易忽视角的范围对最值的影响，求错最值，如只考虑自变量区间的端点值而把最大值求得为0等由于三角函数是周期函数，在一定区间上三角函数值可能重复出现，这就要求考生在解题时仔细斟酌自变量的取值范围对三角函数值的影响，以防出错Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版
10、必究 三角函数的奇偶性问题例 3(2009福建高考)已知函数 f(x)sin(x)，其中 0，|2.(1)若 cos4cossin34 sin0，求 的值；(2)在(1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析(1)把sin 变换成sin ，然后利用两角和的余弦公式解决；(2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是半个周期，根据这点求出，也就确定了函数f(x)的解析式，若要平移函数图象使其为偶函数
11、，则只要保证y轴为这个函数图象的一条对称轴即可Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)由 cos4cossin34 sin0得 cos4cossin4sin0，即 cos(4)0.又|0，|2)的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的的一个可能值为_Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：g(x)cos(x)sin(x)2sin(x4)，其最小正周期为2，则2 2，4.g(x)2sin(4x4)，将其图象向左平移4个单位，得到 g(x)2sin4(x4)4 2sin(4x54)为偶函数，g(0)2，故 k34(kZ)Copyrig
12、ht 2004-2009 版权所有 盗版必究 三角函数的单调性及应用例 4 函数 f(x)1cos2xcosx()A在0，2)，(2，上递增，在，32)，(32，2上递减B在0，2)，32)上递增，在(2，(32，2上递减Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 可利用二倍角公式化简，分段讨论去掉根号，然后判断Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由正切函数的单调性知选项 A 是正确的，在选项 B中，当 x，32)时，sinxf(a 12)Bf(a23)f(a 12)Cf(a23)|a(a 12)|且 a3与 a 12在同一周期内，f(a23)0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间 对函数yAcos(x)，yAtan(x)等的单调性的讨论同上关键是利用复合函数的单调性求解(2)比较三角函数值的大小的一般步骤是：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的同名函数的两个函数值才能由单调性来比较大小Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
