1、双曲线的简单几何性质 复习1：双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.|MF1|-|MF2|=2a 两个定点F1、F2双曲线的焦点;|F1F2|=2c 焦距.oF2F1M类型一：（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0）)0,0(12222babyax1F2F类型二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c）其中)0,0(12222babxay1F2F222bac复习1 双曲线的标准方程 类比椭圆几何性质的研究方法，我 们根据双曲线的标准方程 得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？)0,0(12222babyax问题1：2、对称性axax
2、axax,12222 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。-aa(-x,y)(x,y)(x,-y)(-x,-y)xyo1、范围12222 byax3、顶点xyo1B2B1A2A（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线。（1）令y=0，得x=a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点;令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但我们也把B1(0,
3、-b),B2(0,b)画在y轴上。问题2：根据双曲线的标准方程 你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？)0,0(12222babyax12222 byax由双曲线方程 ，可知 02222 byax0bxaxbyax即00byaxbyax00byaxbyax从而或所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，即以直线和为边界的平面区域内xaby xaby问题3：双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线和直线具有怎样的关系？xaby xaby12222 byaxxaby1A2A1B2Bxyoxaby xabyabPMN22222axxaabaxabxabPM当
4、x变大时，变大，PM长趋向于0 22axxM(x,y)4、渐近线1A2A1B2BQxyoxaby xabyab可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。12222 byaxxaby双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。5、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率。ca0 e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,),0(),1(的夹角增大增大时，渐近线与实轴e焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答12222 bxayxba
5、yoxyB1B2A1A2双曲线标准方程：双曲线性质：1.范围：2.对称性：3.顶点：4.渐近线方程：5.离心率：ya或y-a关于坐标轴和原点对称A1(0，-a),A2(0,a)A1A2为实轴，B1B2为虚轴1 ace解：把方程化为标准方程可得:实半轴长虚半轴长半焦距焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:例:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。14416922xy1342222 xyxy34例题讲解45 ace4a3b53422c巩固练习1.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准 方程为（）A.192522 yxC.16410022 yxB.1
6、92522 yx192522 xy或D.16410022 yx16410022 xy或BA.xy32B.xy94C.xy23D.xy49C2.双曲线 的渐近线方程为（）19422 yx3.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为 122 ymx41 与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点(3,2 3)；与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(3 2,2)例2:求下列双曲线的标准方程：例题讲解法一:直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)解:双曲线221916xy 的渐近线为43yx,令 x=-3,y=4,因2 34,故点(3,2 3)在射线43yx（x0）及 x 轴
7、负半轴之间,双曲线焦点在 x 轴上,设双曲线方程为22221xyab(a0,b0),222243(3)(2 3)1baab 解之得22944ab,双曲线方程为221944xy 根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点(3,2 3)；法二：巧设方程,运用待定系数法.设双曲线方程为,22(0)916xy 22(3)(2 3)91614221944双曲线的方程为 xy法一:直接设标准方程,运用待定系数法 解:设双曲线方程为22221xyab(a0,b0)则22222220(3 2)21abab解之得22128ab 双曲线方程为221128xy 根据下列条件，求双曲线
8、方程:与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(3 2,2).法二：设双曲线方程为221164xykk16040kk且221128xy 双曲线方程为22(3 2)21164kk,解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1、“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。2222222222222211,1.xyxyabmmcxymcm2、与共焦点的椭圆系方程是双曲线系方程是小 结)0,0(12222babyaxaxax 或对称轴：坐标轴对称中心：原点A1,A2标准方程范围对称性顶点渐近线离心率xaby1 aceoxyB2A1A2B1
