1、高考资源网() 您身边的高考专家课后素养落实(三十)抛物线的方程及性质的应用(建议用时:40分钟)一、选择题1设圆C与圆x2(y3)21外切,与直线y0相切,则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆D圆A设圆C的半径为r,则圆心C到直线y0的距离为r,由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r1,所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹是抛物线2设抛物线y22x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是()ABC3D3B由y22x得焦点坐标为,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为yk(k0),由消y得k2x2(k22)x0,设A(x1,y1)
2、,B(x2,y2),则x1x2,x1x2.x1x2y1y2x1x2k2x1x2k2k2(1).当直线AB的斜率不存在时,易求得A,B.所以1.综上,的值是.3已知抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短,则该点的坐标是()AB(0,0)C(1,2)D(1,4)A法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2),其中xR,由点到直线的距离公式得d.当x时,d最小,这时点的坐标为.法二:设与y4x5平行的抛物线y4x2的切线方程为y4xm,由得4x24xm0.再由1644(m)0,得m1.这时切点为,切点到y4x5的距离最小4已知抛物线y22px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,
3、若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2B抛物线的焦点为F,所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx,即xy,代入y22px消去x,得y22pyp2,即y22pyp20,由根与系数的关系得p2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线方程为y24x,准线方程为x1.5已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|BF|16,则p的值为()A2B4C2D8C抛物线y22px(p0)的焦点F,准线方程为x,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为yx,代入y22px可得x23px0,x1x23p,x1x2
4、,由抛物线的定义可知,|AF|x1,|BF|x2,|AF|BF|x1x2(x1x2)p22p216,解得p2.二、填空题6已知斜率为k的直线l与抛物线C:y24x交于A,B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为_2xy30设A(x1,y1),B(x2,y2),则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)又AB的中点为M(2,1),y1y22,k2,因此直线AB的方程为y12(x2),化简得2xy30.7一条光线从抛物线y22px(p0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|FB|6,则抛物线的标准方程为_y24x抛物线具有光学性质,即从焦点出发的
5、光经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,|AB|FB|6,56,p2,抛物线的标准方程为y24x.8已知抛物线C:y22x,直线l的斜率为k,过定点M(x0,0),直线l交抛物线C于A,B两点,且A,B位于x轴两侧,3(O为坐标原点),则x0_.3设直线l的方程为yk(xx0),A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线方程联立可得消y并整理可得,k2x2(2k2x02)xk2x0,由根与系数的关系可得,x1x2x,则y1y22x0,3,x1x2y1y23,即x2x03,解得x03.三、解答题9在平面直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x5)2y29外,且
6、对C1上任意一点M,M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值求曲线C1的方程解法一:设点M的坐标为(x,y),由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧,于是x20,所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二:由题设知,条件“对C1上任意一点M,M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离”所以,曲线C1是以点(5,0)为焦点,直线x5为准线的抛物线,所以曲线C1的方程为y220x.10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A,B两点,O是坐标原点(1)求证:OAOB;(2)当
7、OAB的面积等于时,求k的值解(1)证明:当k0时,直线与抛物线仅一个交点,不合题意,k0.由yk(x1),得x1,代入y2x,整理得,y2y10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2,y1y21.点A,B在抛物线y2x上,A(y,y1),B(y,y2),kOAkOB1,OAOB(2)设直线AB与x轴交于点E(图略),则E(1,0),|OE|1,SOAB|OE|(|y1|y2|)|OE|y1y2|,解得k.1设F为抛物线C:y23x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()ABCDD由题意可知,直线AB的方程为y,代入抛物线的方程可得4y2
8、12y90,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y23,y1y2,故所求三角形的面积为.2已知抛物线C:y24x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点若2,则|QF|()A8B4 C6D3D设点P(1,t),Q(x,y),易知点F(1,0),则(2,t),(1x,y),所以2(1x)2,解得x2,因此|QF|x13.故选D3若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为_设点M,|MO|,(y0)23,y22或y26(舍去),x1.M到抛物线y22x的准线x的距离d1.点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y22x的准线的距离,点M
9、到该抛物线焦点的距离为.4已知O为坐标原点,点P(1,2)在抛物线C:y24x上,过点P作两直线分别交抛物线C于点A,B,若kPAkPB0,则kABkOP的值为_2设A(x1,y1),B(x2,y2),则kAB,kPA,同理kPB.kPAkPB0,0,得y1y24,kAB1.又kOP2,kABkOP122.如图,已知点F为抛物线E:y22px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切解(1)由抛物线的定义得|AF|2.由已知|AF|3,得23,解得
10、p2.所以抛物线E的方程为y24x.(2)法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),所以kGA,kGB,所以kGAkGB0,从而AGFBGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),故直线GA的方程为2x3y20,从而r.又直线GB的方程为2x3y20,所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切- 9 - 版权所有高考资源网