1、第二课时离散型随机变量的方差课后篇巩固提升基础达标练1.某人从家乘车到单位,途中有3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为()A.0.48B.1.2C.0.72D.0.6解析因为途中遇红灯的次数X服从二项分布,即XB(3,0.4),所以D(X)=30.40.6=0.72.答案C2.已知随机变量X的分布列为X135P0.40.10.5则X的标准差D(X)等于()A.3.56B.3.2C.3.2D.3.56解析数学期望E(X)=10.4+30.1+50.5=3.2,由方差的定义,D(X)=(1-3.2)20.4+(3-3.2)20.1
2、+(5-3.2)20.5=1.936+0.004+1.62=3.56.所以标准差D(X)=3.56.答案D3.若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.32-2B.2-4C.32-10D.2-8解析因为XB(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).所以np=6,np(1-p)=3,解得n=12,p=12.所以P(X=1)=C1211211-1211=32-10.答案C4.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次.设摸得白球的个数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于()A.85B.65C.45D.25解析
3、由题意知XB5,3m+3,则E(X)=53m+3=3,解得m=2.所以D(X)=5351-35=65.答案B5.(2019浙江高考)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-0213+1+a3-a213+1+a3-1213=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.答案D6.已知随机变量XB(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=.(结果用数字表示)解
4、析D(Y)=4D(X)=3.2,D(X)=0.8.又XB(n,p),np=4,np(1-p)=0.8,解得p=0.8,n=5.故P(X=2)=C52p2(1-p)3=32625.答案326257.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;2D(X)-1E(X)的最大值为.解析随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为X01P1-pp,从而E(X)=0(1-p)+1p=p,D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.D(X)=p-p2=-p2-p+14+14=-p-122+14.因为0p1,
5、所以当p=12时,D(X)取得最大值,最大值为14.2D(X)-1E(X)=2p-2p2-1p=2-2p+1p2-22,当且仅当2p=1p,即p=22时,等号成立.故2D(X)-1E(X)的最大值为2-22.答案142-228.某花店每天以每枝5元的价格购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的
6、各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解(1)当日需求量n16时,利润y=80.当日需求量n16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=10n-80,n16,80,n16(nN).(2)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差
7、为D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.Y的方差为D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,D(X)D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X)E(Y
8、),但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,E(X)E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.能力提升练1.(2020山东高二月考)若离散型随机变量X的分布列如下,则X的方差D(X)=()X01Pm0.6A.0.6B.0.4C.0.24D.1解析由题意可得m
9、+0.6=1,所以m=0.4,所以E(X)=00.4+10.6=0.6,所以D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.故选C.答案C2.(多选)(2019山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,D(X)=(0-2)20
10、.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.故选ACD.答案ACD3.(2019福建高二期末)现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X.若D(X)=8,P(X=20)P(X=30),则p=()A.0.16B.0.2C.0.8D.0.84解析P(X=20)P(X=30),C5020p20(1-p)30C5030p30(1-p)20,化简得1-p12,又D(X)=8=50
11、p(1-p),解得p=0.2或p=0.8,p=0.8,故选C.答案C4.(2019山东济南高三月考)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,又已知E(X)=43,D(X)=29,则|x1-x2|的值为()A.53B.23C.3D.1解析23+13=1,随机变量X的值只能为x1,x2,23x1+13x2=43,23(x1-43)2+13(x2-43)2=29,解得x1=53,x2=23或x1=1,x2=2,|x1-x2|=1.故选D.答案D5.随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)=.解析设P(X=2)=x,其中0x0.8,可得
12、出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=00.2+1(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)20.2+(x-0.2)2(0.8-x)+(x-1.2)2x=0.4,解得x=0.2或x=1.2(舍去),因此E(X)=0.2+0.8=1.答案16.(2020浙江高三专题练习)已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=,D(X)=.解析由题意得X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C31C53=310,P(X=2)=C32C21C53=610=35,P(X=3)=C33C53=110,所以X的
13、分布列为X123P31035110所以E(X)=3101+352+1103=95,D(X)=3101-952+352-952+1103-952=925.答案959257.(2019西藏拉萨那曲第二高级中学高二期末)已知随机变量X的分布列为X01xP1213p若E(X)=23.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解(1)由题意可得12+13+p=1,得p=16,又E(X)=012+113+x16=23,解得x=2.D(X)=0-23212+1-23213+2-23216=59.(2)Y=3X-2,D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=959=5.8.(2019天津滨海新区
14、塘沽第一中学高考模拟)某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N个人参加.现将所有参加者按年龄情况分为20,25),25,30),30,35),35,40),40,45),45,50),50,55)七组.其频率分布直方图如图所示,已知25,30)这组的参加者是6人.(1)根据此频率分布直方图求N;(2)组织者从45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列、均值及方差;(3)已知35,40)和40,45)这两组各有2名数学教师.现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选
15、出的人中恰有1名数学老师的概率.解(1)25,30)这组频率为0.035=0.15,所以N=60.15=40.(2)45,55)这组的参加者人数为(0.02+0.01)540=6,所以X可能的取值为1,2,3,P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C63=15.X123P153515E(X)=115+235+315=2,D(X)=(1-2)215+(2-2)235+(3-2)215=25.(3)35,40)这组的参加者人数为0.04540=8.40,45)这组的参加者人数为0.03540=6.恰有1名数学老师的概率为C21C61C4
16、2+C62C21C41C82C62=1635.素养培优练1.(2019河南高三月考)已知随机变量的分布列如下表所示,则下列说法正确的是()xyPyxA.存在x,y(0,1),E()12B.对任意x,y(0,1),E()14C.对任意x,y(0,1),D()14解析依题意可得E()=2xy,D()=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=(1-2y)2x+(1-2x)2yyx.因为x+y=1,所以2xy(x+y)22=12,当且仅当x=y时取等号.即E()12,故A,B错误;D()=(2x-1)2x+(1-2x)2yyx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx.0x1,-12x-11,0(2x-1)21,D()yx,即D()12E(),故C成立;D()=(1-2x)2yxD(Y).所以早餐店每天应该批发一小箱.
