1、6.2.4向量的数量积课标解读课标要求核心素养1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(重点)3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(重点)1.通过平面向量的数量积的概念培养数学抽象的核心素养.2.借助投影向量的概念培养直观想象核心素养.3.通过数量积的性质及运算律解决相关问题,培养数学运算核心素养.一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了,太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来问题1:小明和同学谁说得对呢?答案从物理的角度说小明没有做功,而从日常生活
2、中说小明确实做功了.问题2:从数学的角度能解释这个问题吗?答案能.1.向量的夹角条件已知两个非零向量a,b定义O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角,如图所示:范围0特殊情况=0a与b同向=2a与b垂直,记作ab=a与b反向思考1:计算向量的夹角时,两个向量需满足什么条件?提示两个向量共起点.2.向量的数量积条件两个非零向量a与b,它们的夹角为定义数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)记法ab=|a|b|cos规定0与任一向量的数量积为0思考2:向量的数量积与数乘向量的区别是什么?提示向量的数量积是一个实数,不考虑方向,只有大小,而数乘向
3、量是一个向量,既有大小,又有方向.3.投影向量如图1,设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1,我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.如图2,我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.思考3:向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影分别是什么?提示向量a在向量b上的投影是|a|cosb|b|=abb2b,向量b在向量a上的投影是|b|cosa|a|=aba2a.
4、4.平面向量数量积的性质设a,b是两个非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则(1)ae=ea=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2或|a|=aa.此外,由|cos|1还可以得到(4)|ab|a|b|.(5)cos=ab|a|b|(其中是非零向量a与b的夹角).思考4:|ab|a|b|的等号什么时候成立?提示当且仅当向量a,b共线,即ab时,等号成立.5.数量积的运算律已知向量a,b,c和实数,则(1)交换律:ab=ba;(2)数乘结合律:(a)b=(ba)=a(b);(3)分配律:(
5、a+b)c=ac+bc.思考5:(ab)c=a(bc)成立吗?提示不成立.因为(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,若c与a不共线,只有ab=bc=0时才相等.探究一数量积的运算例1(1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120,则(a+b)(a-b)=,(2a-b)(a+3b)=.(2)在RtABC中,C=90,AB=5,AC=4,求ABAC.答案(1)-5;-34解析(1)(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(2a-b)(a+3b)=2a2+6ab-ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=
6、24-53-39=-34.(2)ABAC=|AB|AC|cosBAC=5445=16.思维突破向量数量积的求法(1)确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中确定夹角是求数量积的关键.(2)向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,要根据数量积的运算律计算.1-1在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则ABAC=.答案-16解析设AMB=,则AMC=-,AB=MB-MA,AC=MC-MA,ABAC=(MB-MA)(MC-MA)=MBMC-MBMA-MAMC+MA2=-25-53cos-35cos(-)+9=-16.1-2如图,在平行四边形ABCD中,已知|AB|=4,|AD|=3,DAB
7、=60,求:(1)ADBC;(2)ABCD;(3)ABDA.解析(1)AD与BC平行且方向相同,AD与BC的夹角为0,ADBC=|AD|BC|cos0=331=9.(2)AB与CD平行且方向相反,AB与CD的夹角是180,ABCD=|AB|CD|cos180=44(-1)=-16.(3)AB与AD的夹角是60,AB与DA的夹角是120,ABDA=|AB|DA|cos120=43-12=-6.探究二与模、夹角有关的问题例2(1)(易错题)已知|a|=|b|=5,向量a、b的夹角=3,则|a+b|=.(2)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为.答案(1)53
8、(2)6解析(1)ab=|a|b|cos=55cos3=252.|a+b|=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=25+2252+25=53.(2)|a|=|a-b|,|a|2=|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2.又|a|=|b|,ab=12|a|2,又|a+b|=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|,设a与a+b的夹角为,则cos=a(a+b)|a|a+b|=a2+ab|a|a+b|=|a|2+12|a|2|a|3|a|=32,又0,=6,即a与a+b的夹角为6.易错点拨错误地类比实数运算中的法则,实际上|a2-b2|=|(a+b)(a-b)|a+b|a-b|.1.利
9、用数量积求解长度问题:(1)a2=aa=|a|2或|a|=aa.(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2.求模一般转化为求模的平方.2.求向量的夹角的步骤:(1)求ab及|a|b|,有时可结合数量积的定义或性质进行计算;(2)利用cos=ab|a|b|求出cos的值;(3)借助0,求出.2-1已知向量a,b的夹角为60,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,则cd=,|c+2d|=.答案9;97解析因为向量a与b的夹角为60,|a|=2,|b|=1.所以ab=|a|b|cos60=1.cd=(2a-b)(a+2b)=2a2+3ab-2b2=2|a|2+31-2|b|2=
10、222+3-212=9.因为c+2d=(2a-b)+2(a+2b)=4a+3b,|c+2d|2=(c+2d)2=(4a+3b)2=16a2+24ab+9b2=16|a|2+241+9|b|2=1622+241+91=97,所以|c+2d|=97.2-2已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60,则向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值为.答案-714解析ab=21cos60=1,|m|2=|2a+b|2=4|a|2+4ab+|b|2=422+41+1=21,|n|2=|a-4b|2=|a|2-8ab+16|b|2=22-81+161=12,|m|=21,|n|=23,mn=(2a
11、+b)(a-4b)=2|a|2-7ab-4|b|2=222-71-41=-3.设m,n的夹角为,则cos=mn|m|n|=-32123=-714.探究三两向量的垂直问题例3(1)已知两个单位向量a与b的夹角为60,若a+b与a+b互相垂直,则的取值范围是.(2)已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)(a-b).答案(1)-2-3,-2+3解析(1)两个单位向量a与b的夹角为60,ab=|a|b|cos60=11cos60=12,又a+b与a+b互相垂直,(a+b)(a+b)=0,a2+(2+1)ab+b2=0,2+4+1=0,-2-3,-2+3.(2)证明:|2a
12、+b|=|a+2b|,(2a+b)2=(a+2b)2,4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2,a2=b2,(a+b)(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b0,a-b0,(a+b)(a-b).思维突破两向量垂直的作用(1)根据ab=0可证明向量a与b垂直;(2)向量a与b垂直,则ab=0,可列方程(组)求未知数;(3)利用两向量垂直可解(或证明)平面几何图形中的垂直问题.3-1已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为.答案(0,1)(1,+)解析e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,(e1+ke2)(ke1+e2)=
13、ke12+ke22+(k2+1)e1e2=2k0,k0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围为(0,1)(1,+).3-2已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.解析由已知条件得(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0,即7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0,-得,23b2-46ab=0,2ab=b2,代入得a2=b2,|a|=|b|,cos=ab|a|b|=12b2|b|2=12.0,=3.探究四向量的投影例4如图所示,在ABC中,A
14、B=AC=4,BAC=90,D是BC边的中点.求:(1)AB在BD上的投影向量;(2)BD在AB上的投影向量.解析如图所示,连接AD,因为AB=AC=4,BAC=90,所以ABC是等腰直角三角形,又D是BC边的中点,所以ADBC,ABD=45,所以BD=22.延长AB到E,则AB与BD的夹角为DBE=180-45=135.(1)AB在BD上的投影向量为|AB|cos135BD|BD|=4-22BD22=-BD.(2)BD在AB上的投影向量为|BD|cos135AB|AB|=22-22AB4=-AB2.思维突破设向量a与b的夹角为,则a在b上的投影向量为|a|cosb|b|,b在a上的投影向量为
15、|b|cosa|a|,注意区分两者之间的差异.4-1已知向量a,b的夹角为120,且|a|=1,|b|=2,则向量a+b在向量a上的投影向量是.答案0解析向量a,b的夹角为120,且|a|=1,|b|=2,(a+b)a=a2+ab=12+12cos120=0,向量a+b在向量a上的投影向量是0.1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下列选项中正确的是()A.e1e2=1B.e1e2=-1C.|e1e2|=1D.|e1e2|1答案C设e1与e2的夹角为,则e1e2=|e1|e2|cos=1,所以|e1e2|=1.2.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则|a|b|=()A.14B
16、.4C.12D.2答案D(a+2b)(a-2b)=a2-4b2=0,|a|=2|b|,|a|b|=2.3.在ABC中,若ABBC+AB2=0,则BC在BA上的投影向量为()A.BAB.12ABC.ACD.12CA答案A0=ABBC+AB2=AB(BC+AB)=ABAC,ABAC,BC与BA的夹角为锐角,BC在BA上的投影向量为BA.4.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则向量a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C设向量a,b的夹角为.由题意得ac=a(a+b)=|a|2+|a|b|cos=0,所以cos=-12.又0,所以向量a,b的夹角为120.5.已知向量
17、a与b的夹角为45,且|a|=1,|2a+b|=10,求|b|.解析因为|2a+b|=10,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4ab+b2=10,又因为向量a与b的夹角为45,且|a|=1,所以412+41|b|22+|b|2=10,整理,得|b|2+22|b|-6=0,解得|b|=2或|b|=-32(舍去).逻辑推理利用向量判断三角形形状在ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且ab=bc=ca,试判断ABC的形状.解析在ABC中,易知AB+BC+CA=0,即a+b+c=0,因此a+b=-c,a+c=-b,从而(a+b)2=(-c)2,(a+c)2=(-b)2,a2+b2+2ab=c2
18、,a2+c2+2ac=b2,两式相减可得b2+2ab-c2-2ac=c2-b2,则2b2+2(ab-ac)=2c2,因为ab=ac,所以2b2=2c2,即|b|=|c|.同理可得|a|=|b|,故|AB|=|BC|=|CA|,即ABC是等边三角形.素养探究:解题的关键是利用a+b+c=0,对数据进行整理、转化,利用方程思想可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系,过程中体现逻辑推理核心素养.若O是ABC所在平面内一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则ABC的形状为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案BOB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=
19、AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC,又|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,所以|AB-AC|=|AB+AC|,所以|AB-AC|2=|AB+AC|2,即ABAC=0,所以ABAC.故ABC为直角三角形.1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为3,则向量m=a-4b的模为()A.2B.23C.6D.12答案B2.在RtABC中,C=90,AC=4,则ABAC=()A.-16B.-8C.8D.16答案D3.(2018课标全国,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=
20、1,则向量a与a-b的夹角为()A.6B.3C.56D.23答案A|a-b|=(a-b)2=a2+b2-2ab=3,设向量a与a-b的夹角为,则cos=a(a-b)|a|a-b|=22-123=32,又0,所以=6.5.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90,c=2a+3b,d=ka-4b,cd,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3答案B因为cd,所以cd=0,即(2a+3b)(ka-4b)=0,所以2ka2-8ab+3kab-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.6.已知|b|=5,ab=12,则向量a在b方向上的投影向量为.答案1225b解析a在b方向上的投影向量为|a|co
21、sb|b|=abb2b=1225b.7.已知向量a,b的夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=. 答案32解析|2a-b|=10(2a-b)2=104+|b|2-4|b|cos45=10|b|=32.8.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.答案-13解析设a与b的夹角为,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos=13|b|2+12|b|2cos,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos,故有cos=-13.9.已知非
22、零向量a,b满足|a|=1,(a-b)(a+b)=12,且ab=12.(1)求向量a,b的夹角;(2)求|a-b|.解析(1)因为(a-b)(a+b)=12,所以a2-b2=12,即|a|2-|b|2=12.又|a|=1,所以|b|=22.因为ab=12,所以|a|b|cos=12,所以cos=22,所以向量a,b的夹角为45.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2ab+|b|2=12,所以|a-b|=22.10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们彼此不共线,则下列结论正确的是()A.ac-bc=(a-b)cB.(bc)a-(ca)b与c不垂直C.|a|-|b|a-b|
23、D.(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案ACD根据向量数量积的分配律知A正确;因为(bc)a-(ca)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0,所以(bc)a-(ca)b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形,所以|a|-|b|1(kR),求k的取值范围.解析(1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120,所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,所以(a-b)c.(2)因为|ka+b+c|1,所以(ka+b+c)(ka+b+c)1,即k2a2+b2+c2+2
24、kab+2kac+2bc1.因为ac=ab=bc=cos120=-12,所以k2-2k0,解得k2.即k的取值范围是k2.15.在ABC中,ABAC,M是BC的中点.(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点(不与A,M重合),且|AB|=|AC|=2,求OAOB+OCOA的最小值.解析(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为,则cos=(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|,令|AB|=|AC|=a,则cos=2a2+2a25a5a=45.即向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值为
25、45.(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1,设|OA|=x(0x1),则|OM|=1-x.而OB+OC=2OM,OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos=2x2-2x=2x-122-12.当x=12时,OAOB+OCOA取得最小值-12.16.如图,在直角ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:PQ与BC的夹角取何值时,BPCQ的值最大?并求出这个最大值.解析设PQ与BC的夹角为,则BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-APAC+ABAP=-a2-AP(AC-AB)=-a2+12PQ
26、BC=-a2+a2cos.故当cos=1,即=0(PQ与BC方向相同)时,BPCQ的值最大,最大值为0.17.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?解析(1)|u|2=|a+tb|2=|b|2t2+2(ab)t+|a|2=|b|2t+ab|b|22+|a|2-(ab)2|b|2.b是非零向量,|b|0,当t=-ab|b|2时,|u|=|a+tb|的值最小.(2)由(1)知,当|u|取最小值时,t=-ab|b|2,bu=b(a+tb)=ab+t|b|2=ab+-ab|b|2|b|2=ab-ab=0,bu.
