1、第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知0x1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13B.12C.14D.23解析0x0.x(1-x)x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.答案B2.(多选题)设a,bR,且ab,a+b=2,则必有()A.ab1B.ab1C.a2+b221解析因为aba+b22,ab,所以ab1.又1=(a+b)24=a2+b2+2ab41,所以ab1yB.x2yD.y2x解析x2=a+b+2ab22(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y0,xx(x0)B.x+1x2(x0)C.
2、x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;B中,当x0时,不等式x+1x2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)20,即x2+12|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+11,所以00,a0)取得最小值,则a=.解析4x+ax24xax=4a(x0,a0),当且仅当4x=ax,即x=a2时等号成立,所以a2=3,即a=36.答案366.已知x0,y0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为,取得最大值时y的值为.解析因为x0,y0且1=x3+y42xy12,所以xy3.当
3、且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号.答案327.求函数y=(x+4)(x+9)x的最值.解当x0时,y=13+x+36x13+2x36x=25,当且仅当x=36x,即x=6时取等号.所以当x=6时,ymin=25.当x0,-36x0,(-x)+-36x2(-x)-36x=12.所以y=13-(-x)+-36x13-12=1.当且仅当-x=-36x,即x=-6时取等号,所以当x=-6时,ymax=13-12=1.能力提升练1.若a,bZ,且a+b=0,则2a+2b的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析因为a,bZ,所以2a0,2b0,所以2a+2b22a2b=22a+b=2,
4、当且仅当a=b=0时,等号成立.所以2a+2b的最小值是2.答案A2.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x-1)取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x-1,得x+10,9x+10,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-52(x+1)9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.答案C3.已知abc,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.解析abc,a-b0,b-c0,a-c2=(a-b)+(b-c)2(a-b)(b-c).当
5、且仅当b=a+c2时取等号.答案(a-b)(b-c)a-c24.若正数a,b,c满足1a+4b+9c36a+b+c,则2b+3ca+b+c=.解析由1a+4b+9c36a+b+c,得1a+4b+9c(a+b+c)36,即1+ba+ca+4+4ab+4cb+9+9ac+9bc36,即ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc22.又因为ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=ba+4ab+4cb+9bc+ca+9ac22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.所以ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=22,得b=2a,c=3a.所以2b+3ca+b+c=4a+9aa+2a+3a=136.
6、答案1365.已知不等式(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.解(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy,又x0,y0,a0,yx+axy2yxaxy=2a,1+a+yx+axy1+a+2a,要使(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2a9恒成立即可.(a+1)29,即a+13,a4,正实数a的最小值为4.素养培优练若a0,b0,且(a+b)ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.解(1)(a+b)ab=1,(a+b)=1ab.a0,b0,(a+b)2ab,当且仅当a=b时取等号,1ab2ab,ab12.当且仅当a=b时取等号,ab的最大值为12.(2)不存在.理由如下,a0,b0,12a+13b212a13b=26ab233,当且仅当a=b时,等号成立.63233,不存在a,b使得12a+13b的值为63.
