1、1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的当x1f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.2.函数的最值前提函数yf(x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)对于任意xD，都有f(x)M.(3)存在x0D，使得f(x0)M；(4)对于任意xD，都有f(x)M.结论M
2、为最大值M为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两数”改为“存在两数”.()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(4)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).()(5)所有的单调函数都有最值.()(6)对于函数yf(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()1.下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()A.yx B.yx2xC.yln xx D.yexx答案A解
3、析对于A，y1在(0，)内是减函数，y2x在(0，)内是增函数，则yx在(0，)内是减函数；B，C，D选项中的函数在(0，)上均不单调.故选A.2.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为()A.2 B.2 C.6 D.6答案C解析由图像易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，)，令3，a6.3.若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.先减后增答案B解析由yax在(0，)上是减函数，知a0；由y在(0，)上是减函数，知b0.yax2bx的对称轴x0，又yax2bx的开口向下，yax2bx在(0，)上是减
4、函数.故选B.4.(教材改编)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_.答案2解析可判断函数f(x)在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).5.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_.答案(，12，)解析函数f(x)x22ax3的图像开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示.由图像可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1(1)下列函数中
5、，在区间(0，)上为增函数的是()A.yln(x2) B.yC.y()x D.yx(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A.(0，) B.(，0)C.(2，) D.(，2)(3)yx22|x|3的单调增区间为_.答案(1)A(2)D(3)(，1，0,1解析(1)因为yln(x2)的增区间为(2，)，所以在区间(0，)上为增函数.(2)因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).(3)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图像如图.由图
6、像可知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数. 命题点2解析式含参函数的单调性例2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性.解设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上单调递减；当a0)，则f(x)在(1,1)上的单调性如何？解设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数在(1,1)上为减函数
7、.思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“”连接.已知a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0， 上是减函数，在，)上是增函数.证明方法一任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0， 上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；
8、综上可知，函数f(x)x(a0)在(0， 上为减函数，在，)上为增函数.方法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍).令f(x)0，则10，解得x0，0x0恒成立，试求实数a的取值范围.解(1)当a时，f(x)x2在1，)上为增函数，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，).当a0时，f(x)在1，)内为增函数.最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.当00，a3，所以00，x0)，若f(x)在上的值域为，2，则a_.答案(1)2(2)解析(1)当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；
9、当x0，x0)在上单调递增，所以即解得a.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例4已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()A.f(x1)0，f(x2)0 B.f(x1)0C.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案B解析函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.命题点2解不等式例5已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A.(1,1) B.(0,1)C.(1,0)(0,1) D.(，1)(1，)答案C解析由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x
10、 B.aC.a0成立，那么a的取值范围是_.答案(1)D(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a2，a的取值范围是，2).思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应
11、特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A.(8，) B.(8,9C.8,9 D.(0,8)(2)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(1,0)(0,1C.(0,
12、1) D.(0,1答案(1)B(2)D解析(1)211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得80，故00时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f
13、(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数.6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2).12分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破
14、口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)0且a10，a1.3.已知函数yf(x)的图像关于x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()A.cba B.bacC.bca D.abc答案B解析函数图像关于x1对称，aff，又yf(x)在(1，)上单调递增，f(2)ff(3)，即bac.4.若函数f(x)x22xm在 3，)上的最小值为1，则实数m的值为()A.3 B.2 C.1 D.1答案B解析 f(x)(x1)2m1在3，)上为单调增函数，且f(x)在3，)上的最小值为1，f(3)1，即22m11，m2.5.已知函数f(x)2ax24(a3)x5
15、在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A.(0，) B.(0，C.0，) D.0，答案D解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数，当a0时，由得0a，综上a的取值范围是0a.6.函数f(x)的值域为_.答案(，2)解析当x1时，f(x)logx是单调递减的，此时，函数的值域为(，0；当x1，所以a的取值范围为10且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.(1)证明任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增.(2)解任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，a1.综上所述，a的
16、取值范围是(0,1.10.设函数yf(x)是定义在(0，)上的函数，并且满足下面三个条件：对任意正数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)；当x1时，f(x)0；f(3)1.(1)求f(1)，f()的值；(2)如果不等式f(x)f(2x)2成立，求x的取值范围.解(1)令xy1易得f(1)0.而f(9)f(3)f(3)112，且f(9)ff(1)0，故f2.(2)设0x11，f0，由f(xy)f(x)f(y)得f(x2)ff(x1)ff(x1)，所以f(x)是减函数.由条件及(1)的结果得：fx(2x)f，其中0x1，且x2ax0恒成立，所以1a，故选B.12.函数f(x)中，满足“对任意x1
17、，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()A.f(x) B.f(x)(x1)2C.f(x)ex D.f(x)ln(x1)答案A解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数.A中，f(x)满足要求；B中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C中，f(x)ex是增函数；D中，f(x)ln(x1)是增函数.13.已知函数f(x)为(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a的取值范围为_.答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，).14.已知函数f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)
18、当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的取值范围.解(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)，当a1时，定义域为x|x0且x1，当0a1时，定义域为x|0x1.(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10恒成立，所以g(x)x2在2，)上是增函数.所以f(x)lg在2，)上是增函数.所以f(x)lg在2，)上的最小值为f(2)lg.(3)对任意x2，)恒有f(x)0，即x21对x2，)恒成立.所以a3xx2，令h(x)3xx2，而h(x)3xx22在x2，)上是减函数，所以h(x)maxh(2)2，所以a2.
