1、第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=3,则数列an的通项公式为()A.an=3n-1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2解析an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1.答案A2.若ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)=()A.12B.32C.-12D.-32解析因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又因为A+B+C=,所以A+C=23,故cos(A+C)=-12.答案C3.在等差数列an中,已知a1=13,a4+a5=163,ak
2、=33,则k=()A.50B.49C.48D.47解析设等差数列an的公差为d,a1=13,a4+a5=163,2a1+7d=163,解得d=23,则an=13+(n-1)23=2n-13,则ak=2k-13=33,解得k=50.答案A4.在等差数列an中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为()A.34B.-34C.-67D.-1解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-32,因此新等差数列的公差为-34.答案B5.(多选)等差数列20,17,14,11,中的负数项可以是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项解析a1=20
3、,d=-3,an=20+(n-1)(-3)=23-3n,a7=20,a8=-10,b0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=.解析a0,b0,2a=3b=m1,a=lgmlg2,b=lgmlg3.a,ab,b成等差数列,2ab=a+b,2lgmlg2lgmlg3=lgmlg2+lgmlg3.lgm=12(lg2+lg3)=12lg6=lg6.则m=6.答案68.正项数列an满足a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(nN*,n2),则a7=.解析因为2an2=an+12+an-12(nN*,n2),所以数列an2是以a12=1为首项,以d=a22-a12=4-1=3为
4、公差的等差数列,所以an2=1+3(n-1)=3n-2,所以an=3n-2,n1.所以a7=37-2=19.答案199.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.10.已知数列an,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=an2n-1,证明:数列bn是等差数列;(2)求数列
5、an的通项公式.解(1)因为an+1=2an+2n,所以an+12n=2an+2n2n=an2n-1+1,所以an+12n-an2n-1=1,nN*.又因为bn=an2n-1,所以bn+1-bn=1.所以数列bn是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.(2)由(1)知bn=1+(n-1)1=n,所以an=2n-1bn=n2n-1.能力提升练1.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则ab等于()A.14B.12C.13D.23解析依题意,得a+2x=x+b,2b=x+2x,解得a=x2,b=3x2,故ab=13.答案C2.下列命题正确的是()A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,
6、c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列解析因为a,b,c为等差数列,所以2b=a+c,所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差数列,即C项正确.ABD三项通过举反例易知不正确.答案C3.已知等差数列an满足4a3=3a2,则an中一定为零的项是()A.a6B.a8C.a10D.a12解析设等差数列an的公差为d.4a3=3a2,4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,a6=0,则an
7、中一定为零的项是a6.答案A4.已知an是公差为d的等差数列,若3a6=a3+a4+a5+12,则d=.解析3a6=a3+a4+a5+123(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+126d=12,解得d=2.答案25.已知数列an与an2n均为等差数列(nN*),且a1=1,则a10=.解析设等差数列an的公差为d,则an=1+(n-1)d=dn+1-d,an2n=d2n+2d(1-d)+(1-d)2n为等差数列,根据等差数列的性质可知(1-d)2n=0,即d=1,a10=10.答案106.已知数列an,a1=1,a2=23,且1an-1+1an+1=2an(n2),则an=.解析
8、1an-1+1an+1=2an,数列1an是等差数列,公差d=1a2-1a1=12.1an=1a1+(n-1)d=1+12(n-1)=n+12.an=2n+1.答案2n+17.已知等差数列an:3,7,11,15,.(1)求等差数列an的通项公式.(2)135,4b+19(bN*)是数列an中的项吗?若是,是第几项?(3)若am,at(m,tN*)是数列an中的项,则2am+3at是数列an中的项吗?若是,是第几项?解(1)设等差数列an的公差为d.依题意,得a1=3,d=7-3=4,故an=3+4(n-1)=4n-1.(2)令an=4n-1=135,解得n=34,故135是数列an的第34项
9、.4b+19=4(b+5)-1,且bN*,4b+19是数列an的第(b+5)项.(3)am,at是数列an中的项,am=4m-1,at=4t-1,2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.2m+3t-1N*,2am+3at是数列an的第(2m+3t-1)项.8.在数列an中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n2,nN*).(1)证明:数列1an是等差数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若an+1an对任意的n2恒成立,求实数的取值范围.(1)证明由3anan-1+an-an-1=0(n2),整理得1an-1an-1=3(n2),所以数列1an是
10、以1为首项,3为公差的等差数列.(2)解由(1)可得1an=1+3(n-1)=3n-2,所以an=13n-2.(3)解an+1an对任意的n2恒成立,即3n-2+3n-2对任意的n2恒成立,整理,得(3n-2)23n-3对任意的n2恒成立.令f(n)=(3n-2)23n-3,则f(n+1)-f(n)=(3n+1)23n-(3n-2)23n-3=9n2-9n-13n(n-1)=3-13n(n-1).因为n2,所以f(n+1)-f(n)0,即f(2)f(3)f(4),所以f(2)最小.又f(2)=163,所以163,所以实数的取值范围为-,163.素养培优练数列an满足a1=1,an+1=(n2+
11、n-)an(n=1,2,),是常数.(1)当a2=-1时,求及a3的值.(2)是否存在实数使数列an为等差数列?若存在,求出及数列an的通项公式;若不存在,请说明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-,故=3.从而a3=(22+2-3)(-1)=-3.(2)数列an不可能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-)an,得a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-).若存在,使an为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-)(2-)=1-,解得=3.于是a2-a1=1-=-2,a4-a3=(11-)(6-)(2-)=-24.这与an为等差数列矛盾,所以不存在使an是等差数列.
