1、天和城实验中学2020-2021学年高二上学期第三周统练数学试题一、单选题1直线的倾斜角是( )A30B60C120D1352经过点,且倾斜角为的直线方程是( )ABCD3已知空间向量,则与的夹角为( )ABCD4已知向量,若,则k的值等于( )A1BCD5直线与直线平行,则m的值为( )A1或B1CD6有以下命题:如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线;为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,则点一定共面;已知向量是空间的一个基底,则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是( )ABCD7在四面体中,点在上,且,为中点,则等于( )ABCD8,直线过点,且与线段相交,
2、则直线的斜率取值范围是( )ABCD9直线在y轴上的截距是( )ABCD10已知点,直线方程为,且直线与线段相交,求直线的斜率的取值范围为( )A或 B或 CD二、填空题11若直线和直线互相垂直,则的值为_.12设,是两个不共线的空间向量,若,且A,C,D三点共线,则实数k的值为_.13设空间任意一点和不共线三点,且点满足向量关系,若四点共面,则_14如图所示,在空间四边形OABC中,,点在线段上,且,为中点,若,则_三、解答题15求适合下列条件的直线方程:经过点,倾斜角等于直线的倾斜角的倍;经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形16已知直线,直线.(1)若,求实数a的值;(2)若,求实数
3、a的值.17请用空间向量求解已知正四棱柱中, 分别是棱,上的点,且满足, 求异面直线,所成角的余弦值;求面与面所成的锐二面角的余弦值18已知四边形ABCD是正方形,P是平面ABCD外一点,且PA=PB=PC=PD=AB=2,是棱的中点建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量方法解答以下问题:(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求直线与直线所成角的余弦值参考答案1B【解析】【分析】先求得直线的斜率,由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为,对应的倾斜角为60.故选:B【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法,属于基础题.2C【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率,再求点斜式方程即可.【详解】因为
4、直线倾斜角为,故直线斜率为.故直线方程为:,整理可得:.故选:.【点睛】本题考查直线点斜式方程的求解,属简单题.3A【解析】【分析】由已知中向量,求出两个向量的模和数量积,代入夹角余弦公式,可得答案【详解】空间向量,与的夹角满足,.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模,考查基本运算求解能力4D【解析】【分析】将展开,利用,以及计算可得答案.【详解】由已知得=,2,且,所以得,即2k+8k=2,解得k=.故选:D【点睛】本题考查空间向量的坐标运算,考查向量的模与向量数量积的应用,属于基础题.5C【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件得出关于的方程,即可求出的值.【详解
5、】直线与直线平行,解得,故选:C.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数,解题时要熟悉两直线平行的等价条件,考查计算能力,属于基础题.6C【解析】【分析】空间向量的基底判断的正误,找出反例判断命题的正误,即可得到正确选项【详解】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线;所以不正确反例:如果有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以不正确为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点一定共面;这是正确的已知向量是空间的一个基底,则向量不共面,也是空间的一个基底;所以正确故选:C【点睛】本题考查共线向量与共面向量,考查分析问题解决问题的能力,是基础题7B【解析
6、】【分析】根据向量的加减运算,数乘运算,利用表示向量即可.【详解】在四面体中,点在上,且,为中点所以即.故选:B.【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量,属于中档题.8C【解析】【分析】首先求出直线、的斜率,然后结合图象即可写出答案【详解】解:直线的斜率,直线的斜率,结合图象可得直线的斜率的取值范围是或故选:【点睛】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况,属于基础题9D【解析】【分析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0,则y=-2,即直线在y周上的截距为-2,故选D.10A【解析】【分析】本题首先可以根据直线方程来确定直线过定点,然后根据题意绘出直线与线段相交的图像并
7、求出与的值,最后根据图像即可得出结果【详解】因为直线方程为,即,所以直线过定点,根据,直线与线段相交,可绘出图像:因为,所以直线的斜率的取值范围为或 ,故选A【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围,能否确定直线的旋转范围是解决本题的关键,考查直线的点斜式方程的应用,考查数形结合思想,是中档题112或0【解析】【分析】由直线垂直的条件列方程求解即可【详解】因为直线与直线互相垂直,所以,解得:或,故答案为:2或0【点睛】本题考查两直线垂直的条件,对于两条直线和,则它们垂直的条件是:12【解析】【分析】根据共线列关系式,解得结果.【详解】因为A,C,D三点共线,所以因为所以故答案为: 【点睛】本题考查
8、根据向量共线求参数,考查基本分析求解能力,属基础题.13【解析】【分析】先根据不共线三点,用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示,求和即得结果.【详解】因为四点共面,三点不共线,所以因为,因为是任意一点,故可不共面,所以,故.故答案为:1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用,考查基本分析求解能力,属基础题.14【解析】【分析】用表示 ,从而求出,即可求出,从而得出答案【详解】点在上,且,为的中点 故 故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,运用向量的加法法则来求解,属于基础题15(1)(2)或【解析】【分析】(1)根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍,求出直线的倾
9、斜角,再利用点斜式写出直线(2)与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】(1)已知,直线方程为化简得(2)由题意可知,所求直线的斜率为.又过点,由点斜式得,所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程,属于基础题16(1)或;(2)或.【解析】【分析】(1)根据两直线垂直的等价条件列式求解即可;(2)根据两直线平行,分类讨论斜率不存在和斜率存在且相等的情况,检验即可求出【详解】(1), ,或(2)当时,; 当时,由解得:,此时, ,即,两直线不重合综上得:或【点睛】本题主要考查根据两直线垂直和平行求参数,属于基础题17(1);(2).【解析】【分析】推导出AD,DC,两两垂直
10、,以A为原点,DA,DC,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线,所成角的余弦值;求出平面的一个法向量和平面FAD的一个法向量,利用向量法能求出面与面FAD所成的锐二面角的余弦值【详解】在正四棱柱中,平面ABCD,底面ABCD是正方形,所以AD,DC,两两垂直,以A为原点,DA,DC,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,又因,E,F分别是棱,上的点,且满足,所以0,0,1,1,0,1,1,所以,设异面直线,所成角为所以,所以异面直线,所成角的余弦值为 ,设平面的一个法向量为,则,所以,令,所以,平面FAD的一个法向量为,则,所以,令,所以,所以,所
11、以面与面FAD所成的锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题面面角一般是定义法,做出二面角,或者三垂线法做出二面角,利用几何关系求出二面角,也可以建系来做18(1)见解析;(2)见解析;(3)【解析】【分析】(1)连结AC,与BD交于点O,连结OP,易证,OPAC,OPBD,建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面的法向量,证明,结合平面即可证明平面;(2)求出,并证明,即可证明平面;(3)设直线与直线所成角为,由可求出答案.【详解】解:(1)连结AC,与BD交于点O,连结OP,四边形ABCD是正方形,PA=PC,OPAC,同理OPBD,以O为原点,分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,易知,设平面的法向量为,则,则平面的一个法向量,又平面,所以平面.(2),,平面.(3)设直线与直线所成角为,.即直线与直线所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用空间向量的方法证明线面平面、线面垂直,求异面直线的夹角的问题,考查了学生的空间想象能力与计算能力,属于中档题.