1、天和城实验中学2020-2021学年高二上学期第三周统练数学试题一、单选题1直线的倾斜角是（ ）A30B60C120D1352经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）ABCD3已知空间向量，则与的夹角为（ ）ABCD4已知向量，若，则k的值等于（ ）A1BCD5直线与直线平行，则m的值为（ ）A1或B1CD6有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是（ ）ABCD7在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）ABCD8，直线过点，且与线段相交，
2、则直线的斜率取值范围是（ ）ABCD9直线在y轴上的截距是( )ABCD10已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（ ）A或 B或 CD二、填空题11若直线和直线互相垂直，则的值为_.12设，是两个不共线的空间向量，若，且A，C，D三点共线，则实数k的值为_.13设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则_14如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_三、解答题15求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形16已知直线，直线.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数
3、a的值.17请用空间向量求解已知正四棱柱中， 分别是棱，上的点，且满足， 求异面直线，所成角的余弦值；求面与面所成的锐二面角的余弦值18已知四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2，是棱的中点建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与直线所成角的余弦值参考答案1B【解析】【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60.故选：B【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题.2C【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率，再求点斜式方程即可.【详解】因为
4、直线倾斜角为，故直线斜率为.故直线方程为：，整理可得：.故选：.【点睛】本题考查直线点斜式方程的求解，属简单题.3A【解析】【分析】由已知中向量，求出两个向量的模和数量积，代入夹角余弦公式，可得答案【详解】空间向量，与的夹角满足，.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模，考查基本运算求解能力4D【解析】【分析】将展开，利用，以及计算可得答案.【详解】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故选：D【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查向量的模与向量数量积的应用，属于基础题.5C【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件得出关于的方程，即可求出的值.【详解
5、】直线与直线平行，解得，故选：C.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，解题时要熟悉两直线平行的等价条件，考查计算能力，属于基础题.6C【解析】【分析】空间向量的基底判断的正误，找出反例判断命题的正误，即可得到正确选项【详解】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；这是正确的已知向量是空间的一个基底，则向量不共面，也是空间的一个基底；所以正确故选：C【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题7B【解析
6、】【分析】根据向量的加减运算，数乘运算，利用表示向量即可.【详解】在四面体中，点在上，且，为中点所以即.故选：B.【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.8C【解析】【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案【详解】解：直线的斜率，直线的斜率，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或故选：【点睛】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题9D【解析】【分析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0，则y=-2，即直线在y周上的截距为-2，故选D.10A【解析】【分析】本题首先可以根据直线方程来确定直线过定点，然后根据题意绘出直线与线段相交的图像并
7、求出与的值，最后根据图像即可得出结果【详解】因为直线方程为，即，所以直线过定点，根据，直线与线段相交，可绘出图像：因为，所以直线的斜率的取值范围为或 ，故选A【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，能否确定直线的旋转范围是解决本题的关键，考查直线的点斜式方程的应用，考查数形结合思想，是中档题112或0【解析】【分析】由直线垂直的条件列方程求解即可【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得：或，故答案为：2或0【点睛】本题考查两直线垂直的条件，对于两条直线和，则它们垂直的条件是：12【解析】【分析】根据共线列关系式，解得结果.【详解】因为A，C，D三点共线，所以因为所以故答案为: 【点睛】本题考查
8、根据向量共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.13【解析】【分析】先根据不共线三点，用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示，求和即得结果.【详解】因为四点共面，三点不共线，所以因为，因为是任意一点，故可不共面，所以，故.故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.14【解析】【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案【详解】点在上，且，为的中点 故 故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题15（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾
9、斜角，再利用点斜式写出直线（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题16（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的等价条件列式求解即可；（2）根据两直线平行，分类讨论斜率不存在和斜率存在且相等的情况，检验即可求出【详解】（1）， ，或（2）当时，； 当时，由解得：，此时， ，即，两直线不重合综上得：或【点睛】本题主要考查根据两直线垂直和平行求参数，属于基础题17（1）；（2）.【解析】【分析】推导出AD，DC，两两垂直
10、，以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线，所成角的余弦值;求出平面的一个法向量和平面FAD的一个法向量，利用向量法能求出面与面FAD所成的锐二面角的余弦值【详解】在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AD，DC，两两垂直，以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，又因，E，F分别是棱，上的点，且满足，所以0，0，1，1，0，1，1，所以，设异面直线，所成角为所以，所以异面直线，所成角的余弦值为 ，设平面的一个法向量为，则，所以，令，所以，平面FAD的一个法向量为，则，所以，令，所以，所以，所
11、以面与面FAD所成的锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做18(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】【分析】(1)连结AC，与BD交于点O，连结OP，易证，OPAC，OPBD，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面的法向量，证明，结合平面即可证明平面；(2)求出，并证明，即可证明平面；(3)设直线与直线所成角为，由可求出答案.【详解】解：(1)连结AC，与BD交于点O，连结OP，四边形ABCD是正方形，PA=PC，OPAC，同理OPBD，以O为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，易知，设平面的法向量为，则，则平面的一个法向量，又平面，所以平面.(2),，平面.(3)设直线与直线所成角为，.即直线与直线所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用空间向量的方法证明线面平面、线面垂直，求异面直线的夹角的问题，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.