1、第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式知识点一用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)知识点二奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a
2、上具有相反的单调性预习小测自我检验1若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)_.答案02若f(x)为R上的奇函数，且在0，)上单调递减，则f(1)_f(1)(填“”“”或“解析f(x)为R上的奇函数，且在0，)上单调递减，f(x)在R上单调递减，f(1)f(1)3如果奇函数f(x)在区间7，3上是减函数，那么函数f(x)在区间3,7上是_函数答案减解析f(x)为奇函数，f(x)在3,7上的单调性与7，3上一致，f(x)在3,7上是减函数4函数f(x)为偶函数，若x0时，f(x)x，则x0时，f(x)_.答案x解析方法一令x0，f(x)x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(
3、x)x(x0)方法二利用图象(图略)可得x0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，当xf(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)32，所以f()f(3)f(2)，故f()f(3)f(2)反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在0，)上单调递
4、减，则f(1)和f(10)的大小关系为()Af(1)f(10) Bf(1)f(10)Cf(1)f(10) Df(1)和f(10)关系不定答案A解析f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减，f(10)f(10)b0，下列不等式中成立的有_(填序号)f(a)f(b)；f(a)f(b)；g(a)g(b)；g(a)f(a)答案解析f(x)为R上奇函数，增函数，且ab0，f(a)f(b)f(0)0，又ab0，f(a)f(b)f(b)0f(b)f(a)，正确，错误x0，)时，g(x)f(x)，g(x)在0，)上单调递增，g(a)g(a)g(b)g(b)，正确，错误又g(a)g(a)f(a)f(a)，正确三、
5、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数若f(3)0，则0的解集为_答案x|3x3解析f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数，f(x)在区间(0，)上是减函数f(3)f(3)0.当x0时，由f(x)3；当x0，解得3x0.故所求解集为x|3x3(2)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f 的x的取值范围为()A. B.C. D.答案A解析由于f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式f(2x1)f ，即2x1，解得x.反思感悟利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不
6、等式；(2)转化为简单不等式求解利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解跟踪训练4设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1mf(0)f(1)Bf(3)f(1)f(0)Cf(1)f(0)f(3)Df(1)f(3)f(0)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式
7、结合问题答案B解析f(3)f(3)，且f(x)在区间0，)上是增函数，f(3)f(1)f(0)2定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b| D0ab0考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C3已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.答案x1解析当x0时，x0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x1)f(|x1|)又因为f(2)0，所以f(x1)0可化为f(|x1|)f(2)又因为f(x)在0，)上单调递减，所以|x1|2，解得2x12，所以1x3.1知识清单：(1)利用奇
8、偶性，求函数的解析式(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式2方法归纳：利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养3常见误区：解不等式易忽视函数的定义域1设函数f(x)且f(x)为偶函数，则g(2)等于()A6 B6 C2 D2考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案A解析g(2)f(2)f(2)2226.2如果奇函数f(x)在区间3，1上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间1,3上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5答案A解析f(x)为奇函数，f(x)在1,3
9、上的单调性与3，1上一致且f(1)为最小值，又已知f(1)5，f(1)f(1)5，f(1)5，故选A.3已知函数yf(x)是R上的偶函数，且f(x)在0，)上是减函数，若f(a)f(2)，则a的取值范围是()Aa2 Ba2Ca2或a2 D2a2答案D解析由f(a)f(2)得f(|a|)f(2)，|a|2，2a2.4已知函数yf(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是()A4 B2 C1 D0答案D解析yf(x)是偶函数，所以yf(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)0的所有实根之和为0.5设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10，则()Af(x
10、1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析x10，x2x10，又f(x)在(0，)上是减函数，f(x2)f(x1)，f(x)是偶函数，f(x2)f(x2)0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_.答案5解析由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.7已知奇函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(x)f(1)的x的取值范围是_考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(，1)解析由于f(x)在0，)上单调递增，且是奇函
11、数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)f(1)等价于x1.8若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_答案f(2)f(1)f(0)解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，即f(2)f(1)0时，f(x)x22x3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间考点单调性与奇偶性的综合应用题点求奇偶函数的单调区间解(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称
12、，所以f(x)为奇函数，则f(0)0.设x0，因为当x0时，f(x)x22x3.所以当x0时，f(x)f(x)(x22x3)x22x3.于是有f(x)(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1，1，)，单调递减区间是(1,0)，(0,1)10已知函数f(x)axc(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)，f(2).(1)求a，b，c的值；(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明考点单调性与奇偶性的综合应用题点判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，axcaxc，c0，f(x
13、)ax.又f(1)，f(2)，a2，b.综上，a2，b，c0.(2)由(1)可知f(x)2x.函数f(x)在区间上为减函数证明如下：任取0x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x2(x1x2)(x1x2).0x1x2，x1x20,4x1x210，即f(x1)f(x2)f(x)在上为减函数11设奇函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)答案C解析f(x)为奇函数，0，即1时，f(x)0.奇函数图象关于原点对称，在(，0)上f(x)为减函数且f(1)0，即x0.综上使0的解集为(，1)(
14、1，)12已知f(xy)f(x)f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数，也是偶函数D既不是奇函数，也不是偶函数答案A解析令xy0，所以f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0.又因为f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，故选A.13已知yf(x)x2是奇函数且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案1解析yf(x)x2是奇函数，f(x)(x)2f(x)x2，f(x)f(x)2x20，f(1)f(1)20.f(1)1，f(1)3.g(x)f(x)2，g(1)f(1)
15、2321.14已知定义在R上的函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在1，)上为单调减函数，则当x_时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)f(m)成立，则m的取值范围是_答案1(0,2)解析由f(1x)f(1x)知，f(x)的图象关于直线x1对称，又f(x)在(1，)上单调递减，则f(x)在(，1上单调递增，所以当x1时f(x)取到最大值由对称性可知f(0)f(2)，所以f(0)f(m)，得0m0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围解(1)因为ab，所以ab0，由题意得0，所以f(a)f(b)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(b)f(b)，所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b)(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1m)f(32m)0，所以f(1m)f(32m)，即f(1m)f(2m3)，所以1m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为(，4
