1、2020-2021学年山东省烟台市某校高三（上）第一学期期中诊断性测试数学试卷一、选择题)1. 已知集合A=-2,-1,0,1,2，B=x|-1a-b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若cos+4=34，则sin2=( )A.18B.-18C.38D.-384. 设a=20.2，b=12-0.3，c=log0.20.3，则a，b，c的大小关系为( )A.abcB.bacC.bcaD.cab5. 若M为ABC的边AB上一点，且AB=3AM，则CB=( )A.3CM-2CAB.3CA-2CMC.3CM+2CAD.3CA+2CM6. 函数fx=2
2、|x|ln|x|在其定义域上的图象大致为( )A.B.C.D.7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T-Ta=(12)thT0-Ta，其中Ta是环境温度，h称为半衰期现有一杯85C的热茶，放置在25C的房间中，如果热茶降温到55C，需要10分钟，则欲降温到45C，大约需要多少分钟？( )(lg20.3010，lg30.4771)A.12B.14C.16D.188. 已知函数fx=x-1，1x3，lnx3，3b0，则( )A.1a-b1aB.2a2b-1C.a2+b2a-b10. 已知fx是定义在R上的奇函数，且满足f4-
3、x=fx，则下列说法正确的是( )A.fx+8=fxB.fx在区间-2,2上单调递增C.f2019+f2020+f2021=0D.fx=cos4x+2是满足条件的一个函数11. 函数fx=Asinx+，(A，是常数， A0)的部分图象如图所示，则( )A.fx=2cos6-2xB.fx=2sin2x+3C.fx的对称轴为x=k+12，kZD.fx的递减区间为k-512,k+12，kZ12. 已知函数f(x)=sinxx，x(0,，则下列结论正确的有( )A.fx在区间(0,上单调递减B.若0x1x2sinx1C.fx在区间(0,上的值域为0,1)D.若函数gx=xgx+cosx，且g=-1，则
4、gx在(0,上单调递减三、填空题)13. 设a，b为单位向量，且|a-b|=1，则|a-2b|=_.14. 函数fx=1-x2+lnx的定义域为_.15. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，其导函数为fx，若对任意的正实数，xfx+2fxg(-2)的解集为_.16. 如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA=8km，DB=27km为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设APC=00. (1)讨论函数fx的单调性；(2)若关于x的不等式xfxx-1xlnx在1,+上恒成立，求实数a的取值范围22. 已知函数fx=e
5、x+ax-1aR. (1)若对任意的实数x，函数y=fx的图象与直线y=x有且只有两个交点，求a的取值范围；(2)设gx=fx-12x2+1，若函数gx有两个极值点x1，x2，且x12.参考答案与试题解析2020-2021学年山东省烟台市某校高三（上）第一学期期中诊断性测试数学试卷一、选择题1. C2. A3. B4. D5. A6. B7. C8. D二、多选题9. A,B,D10. A,C,D11. A,B12. A,C,D三、填空题13. 314. (0,115. x|12x3216. 12四、解答题17. 解：(1)因为ab，所以ab=0.因为a=32,-12，b=cosx,sinx故
6、32cosx-12sinx=0，所以tanx=3.(2)|a|=(32)2+(-12)2=1，|b|=cos2x+sin2x=1，因为a在b上的投影向量长度为12，所以a与b的夹角为3或23当夹角为3时，cos=ab|a|b|=32cosx-12sinx11=12，所以sin3-x=12，又x0,2，所以3-x-6,3，所以3-x=6，即x=6；当夹角为23时，cos=ab|a|b|=32cosx-12sinx11=-12，所以sin3-x=-12，又3-x-6,3，所以3-x不存在综上，x的值为618. 解：(1)由已知得：12a100+10b-ln2=17.7，12a225+15b-ln3
7、=25，解得：a=-125,b=5125， y=-150x2+5125x-lnx5x10，则该景点改造升级后旅游增加利润为：Lx=-150x2+5125x-lnx5-x=-150x2+2625x-lnx5x10.(2)由(1)得：Lx=-150x2+2625x-lnx5x10，则Lx=-125x+2625-1x=-x2-26x+2525x=-x-1x-2525x，令Lx=0得，x=25，当x10,25时，Lx0,Lx单调递增；当x25,+时，Lx0,Lx单调递减； x=25时，Lx取得最大值，且Lxmax=L25=11.9，当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元 .19.
8、解：若选：因为acosB+bsinA=c，所以sinAcosB+sinBsinA=sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，所以sinBsinA=cosAsinB，因为sinB0，所以sinA=cosA，所以A=4.因为ABC的外接圆半径为2，所以asinA=22，所以a=4sinA=22，所以b+c=2a=4，又因为a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc-2bccosA所以8=16-2bc-2bc，所以bc=82+2=42-2=8-42.若选：因为b+bcosA=3asinB，所以sinB+sinBcosA=3sinAsinB，因为sinB0，所以3sinA-c
9、osA=1，所以sinA-6=12.因为0A，所以A-6-6,56，所以A-6=6，所以A=3，因为ABC的外接圆半径为2，所以asinA=22，所以a=4sinA=23，所以b+c=2a=26，又因为a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc-2bccosA，所以12=24-2bc-bc，所以bc=4.若选：因为b2+c2-a2=43SABC，由余弦定理得2bccosA=23bcsinA，所以tanA=33，所以A=6.因为ABC的外接圆半径为2，所以asinA=22，所以a=4sinA=2，所以b+c=2a=22，又因为a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc-2bcco
10、sA，所以4=8-2bc-3bc，所以bc=42+3=42-3=8-4320. 解：(1)设AC=x，则AB=3AC=3x，所以s=8+4x24x-828+2x28-2x2=22+xx-24+x4-x2x4.(2)法一：由(1)得，s=22+xx-24+x4-x=2x2-416-x22x2-4+16-x22=12，当且仅当x2-4=16-x2，即x=10时等号成立，所以s的得最大值为12此时AC=10，AB=310，BC=8，由余弦定理得cosA=(10)2+3102-82210310=35，所以sinA=1-cos2A=45.法二：由(1)得，s=22+xx-24+x4-x=2x2-416-
11、x2=2-x4+20x2-64=2-x2-102+36，当x2=10，即x=10时，s取得最大值12此时AC=10，AB=310，BC=8，由余弦定理得cosA=(10)2+3102-82210310=35，所以sinA=1-cos2A=4521. 解：(1)x(0,+)，fx=2x-1+a1x-1=2x-1+a1-xx=2x-ax-1x，令fx=0，则x=a2或x=1，当0a2时，函数fx在区间0,1，a2,+上单调递增，在区间1,a2上单调递减(2)不等式xfxx-1xlnx等价于x(2x-a)(x-1)x-(x-1)lnxx0，等价于(2x2-ax-lnx)(x-1)x0，因为x1，故原
12、不等式可化为：a2x-lnxx在1,+上恒成立，设hx=2x-lnxx，x1,+，hx=2-1-lnxx2=2x2-1+lnxx2令gx=2x2-1+lnx，x1,+，则gx=4x+1x0，所以gx在1,+上单调递增，gxg1=10，所以hx0，则函数hx在1,+上单调递增，h(x)h1=2，故实数a的取值范围是0a2.22. (1)解：由已知得：函数y=ex+a的图象与直线y=x有两个交点，即方程ex-x+a=0有两个不相等的实数解.设h(x)=ex-x+a，则h(x)=ex-1，令h(x)=0得：x=0，x-,0时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)min=h(0)=a+1，所以a
13、+10，所以a-1，且x-时，h(x)+；x+时，h(x)+，所以a-1时，函数y=f(x)的图象与直线y=x有且只有两个交点.(2)证明：g(x)=ex-12x2+ax，g(x)=ex-x+a，函数g(x)有两个极值点x1，x2，所以方程g(x)=0有两个不同的实数解x1，x2.由(1)知：h(x)=ex-x+a，h(x1)=h(x2)=0，且x100)，设k(x)=e-x-ex+2x(x0)，则k(x)=-e-x-ex+2=-1ex-ex+2=-(1ex+ex)+20，所以k(x)在(0,+)上单调递减.又因为k(0)=0，所以k(x)0恒成立，即h(-x2)0，所以x1-x2g(-x2)，要证g(x1)+g(x2)2，只需证g(-x2)+g(x2)2，即证e-x2+ex2-x22-20.设(x)=e-x+ex-x2-2(x0)，则(x)=-e-x+ex-2x，令p(x)=-e-x+ex-2x(x0)，则p(x)=e-x+ex-20，所以p(x)在(0,+)上单调递增，p(x)p(0)=0，即(x)0，所以(x)在(0,+)上单调递增，(x)(0)=0，故当x0时，e-x+ex-x2-20，即e-x2+ex2-x22-20，所以g(-x2)+g(x2)2，亦即g(x1)+g(x2)2.
