[原创]新人教B版高中数学2012年高考数学第一轮复习各个知识点攻破3-2等差数列.ppt

1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第二节 等差数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题考试热点1.以选择题或填空题的形式考查等差数列的基本运算2.以考查等差数列的通项公式及性质为主，同时考查等差数列的函数性.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

2、个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示，定义的表达式为(nN*)公差an1anddCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2如果 a、A、b 成等差数列，那么 A 叫做 a、b 的，且.a、A、b 成等差数列是 Aab2 的条件3等差数列的通项公式为.4等差数列的前 n 项和公式为或 Sn.等差中项充要Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5对于正整数m、n、p、q，若mnpq，则等差数列中am、an、ap、aq的关系为.6等差数列的通项是关于正整数n的函数(d0)，(n，an)是直线上的一群孤立的点，ananb(a

3、、b是常数)是an成等差数列的条件amanapaq一次充要Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 7等差数列an的首项是a1，公差为d，若其前n项和可以写成SnAn2Bn，则A，B，当d0时它表示函数 8数列an的前n项和SnAn2Bn是an成等差数列的充要条件 9等差数列的增减性 d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最 值 d0时前n项和Sn有最 值二次小大递增递减Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1在等差数列an中，已知a32，则该数列的前5项之和为()A10 B16 C20 D32答案：ACopyright 2004-2009 版权所有

4、盗版必究 2如果数列an是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项是()A1 B2 C4 D6答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3在数列an中，a13，且对任意大于 1 的正整数 n，点(an，an1)在直线 xy 30 上，则 an_.答案：3n2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4等差数列an的首项为70，公差为9，则这个数列中绝对值最小的项的值是_答案：2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5设实数 a0，且函数 f(x)a(x21)(2x1a)有最小值1.(1)求 a 的值；(2)设 数

5、 列 an 的 前 n 项 和 Sn f(n)，令 bn a2a4a2nn，n1,2,3，证明bn成等差数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)证明：由(1)知 f(x)x22x，Snn22n，a1S11.又当 n2 时，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1当 n1 时符合上式，an2n1an是首项为1，公差为 2 的等差数列a2a4a2nn(2n1)，即 bn2n1，显然bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 1(2009江苏高

6、考)设an是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足 a22a23a24a25，S77.(1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)试求所有的正整数 m，使得amam1am2 为数列an中的项Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)由题意，设等差数列an的通项公式为ana1(n1)d，d0.由 a22a23a24a25知 2a15d0.又因为 S77，所以 a13d1.由可得 a15，d2.所以数列an的通项公式 an2n7，Snn(a1an)2n26n.(2)因为amam1am2(am24)(am22)am2am26 8am2为数列an中的项，

7、故 8am2为整数，又由(1)知 am2 为奇数，所以 am22m31，即 m1,2.经检验，符合题意的正整数只有m2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 利用方程思想，通过题设条件建立方程组，求出等差数列的最基本元素 a1 和 d，是求解数列通项公式 an和前 n 项和 Sn 的常见解法第(2)问的命题思路涉及分式的整除性，让人联想到 2007 年的一道湖北高考题：“已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的 n 的个数是_，”解题方法都是通过分离分子来研究能够整除时的整数解求解这类问题，分

8、离分子是解题的一般方法，落脚点是对数、式讨论整除Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.答案：24Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 2 已知数列an中，a135，an2 1an1(n2，nN*)，数列bn满足 bn1an1(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)an2 1an1(n2，nN*)，bn1an1.当n2 时，bnbn11an11an1112

9、 1an1 11an11 an1an111an111.又 b11a1152.数列bn是以52为首项，1 为公差的等差数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)由(1)知，bnn72，则 an11bn122n7.由函数 f(x)122x7，易知 f(x)在区间，72 和72，内为减函数当 n3 时，an 取得最小值1；当 n4 时，an取得最大值 3.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 判断一个数列不是等差数列时，只需举出特殊的连续三项不成等差数列就可以了Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2009湖南百校联考)

10、数列an满足 an3an13n1(nN*，n2)，已知 a395.(1)求 a1，a2；(2)是否存在一个实数 t，使得 bn13n(ant)(nN*)，且bn为等差数列？若存在，则求出 t 的值；若不存在，请说明理由Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)当 n2 时，a23a1321.当 n3 时，a33a233195，a223，233a18，a15.(2)当 n2 时，bnbn113n(ant)13n1(an1t)13n(ant3an13t)13n(3n12t)112t3n，要使bn为等差数列，则必须使 12t0，t12，即存在 t12，使bn为等差数列Co

11、pyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 3(1)设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若S3S613，则S6S12等于()A.310B.13C.18D.19Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)若数列an是等差数列，首项a10，a2005a20060，a2005a20060的最大自然数n.(3)若等差数列an中，Sn是前n项的和，且S39，S93，求S12.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)a10，a2005a20060，a2005a20060，a20060.S40114011a20060 的最大自然数 n 为 4

12、010.(3)S99 S3393 S1212S33123，S1212.拓展提升 等差数列均匀截断，等差数列每段之和仍为等差数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，a2a8()A45 B75 C180 D300Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于()A160 B180 C200 D220Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)本题考查等差数列的性质，由已知可得(a1a2a3)(a18a19

13、a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)a1a2018S20a1a20220182 20180，选B.答案：(1)C(2)BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例4 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值 分析 此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 解法 1：设公差为 d，S10S15，10201092d152015142d，得 d53.又 a1

14、20，an2053(n1)，an为递减数列由an0an10，即20(n1)(53)020n(53)0.12n13，nN*，当 n12 或 13 时，Sn 有最大值，S12S13130.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：由 a120，S10S15，解得公差 d53，S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a13，a130.d0，a1，a1，a11，a12 均为正数，而 a14及以后的各项均为负数当 n12 或 13 时，Sn 有最大值，S12S13130.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究

15、拓展提升 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 等差数列an中，a10，S9S12，该数列前多少项的和最小？Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：由ana1(n1)d0，an1a1nd0.即1 110(n1)0，1 110n0.得 10n11，n 取 10 或 11 时，Sn 有最小值解法 3：S9S12，a10a11a120，3a110.a110，a10，则 Sn 有最小值当 a10 时，Sn 的最小值就是 S1a1；当 a10 时，通过解不等式组am0，am10得到正整数 m，Sn 的最小值就是 Sm；(2)如果 d0，则 Sn 有最大值当 a10 时，通过解不等式组am0am10得正整数 m，Sn 的最大值就是 Sm.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究