1、吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二数学4月月考试题 理(含解析)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据复数的运算法则,求得,进而求得其共轭复数,利用复数在复平面内对应点的坐标,求得结果.【详解】因为,所以,所以,所以复数对应的点的坐标为,故选D.【点睛】该题考查是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的除法运算,复数的共轭复数,复数在复平面内对应点点的坐标,属于简单题目.2.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,函数g(x)x2aln x
2、在(1,2)上为增函数,则a的值等于( )A. 1B. 2C. 0D. 【答案】B【解析】试题分析:函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,所以,即,函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数,即,当,即恒成立,即,所以同时满足两个条件的,故选考点:1导数的基本应用;2函数的性质3.过曲线y上一点P的切线的斜率为4,则点P的坐标为( )A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】分析】求出y=,设P(x0,),由在点P处的切线斜率为4,利用导数的几何意义得到=4,由此能求出点P的坐标【详解】曲线y=,y=,设P(x0,),在点P处的切线斜率为4,=4,解得或,点P的坐标是(,2)或
3、(,2)故选B【点睛】本题考查点的坐标的求法,涉及到导数、切线、导数的几何意义关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题4.下列函数中,是其极值点的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对A,B,C,D里面四个选项中的函数进行求导,分析左右两边导函数的正负情况即可求出结果.【详解】A选项中为三次函数,无极值点;B选项中,显然当时,单调递增,当时,单调递减,是其极值点;C选项中,显然不是其极值点;D选项中,也不是其极值点.故选:B【点睛】本题考查学生对运用导数求解基本函数的极值点的能力,要求学生会求基本初等函数的导函数,能够分析
4、哪些点是函数的极值点,属于容易题.5.用数学归纳法证:(时)第二步证明中从“到”左边增加的项数是( )A. 项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】【分析】分别写出当,和时,左边的式子,分别得到其项数,进而可得出结果.【详解】当时,左边,易知分母为连续正整数,所以,共有项;当时,左边,共有项;所以从“到”左边增加的项数是项.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法,熟记数学归纳法的一般步骤即可,属于常考题型.6.将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31A. 811B. 809C. 807D. 80
5、5【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数个,则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是故选B7.函数在内有极小值,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:对于函数,求导可得,函数在(0,1)内有极小值,则其有一根在(0,1)内,a0时,3x2-2a=0两根为,若有一根在(0,1)内,则01,即0aa=0时,3x2-3a=0两根相等,均为0,f(x)在(0,1)内无极小值a0时,3x2-3a=0无根,f(x)在(0,1)内无极小值,综合可得,0a考点:考查利用导数研究函数的极值问题,体现了转化的思想方法8.函数的图象大致为( )A. B
6、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性,排除选项,通过函数的导数,判断函数的单调性,可排除选项,从而可得结果.【详解】函数是偶函数,排除选项;当时,函数 ,可得,当时,函数是减涵数,当时,函数是增函数,排除项选项,故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象9.如图,由曲线,直线和x轴围成的封闭图形的面积是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:画出,直线和轴围成的封闭图形
7、,然后利用定积分表示区域面积,然后利用定积分的定义进行求解即可详解:由曲线,直线 和轴围成的封闭图形的面积为:,故选D点睛:本题主要考查了利用定积分求面积,同时考查了定积分的等价转化,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档题 10.已知函数是函数的导函数,对任意实数都有,设则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】对任意实数都有,即在上为单调减函数又不等式等价于不等式解集为故选B点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造,构造,构造等.11.给出下面三个类比结论:向量,有类比有
8、复数,有;实数有;类比有向量,有;实数有,则;类比复数,有,则.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析:对3个命题,通过反例判断命题的真假,利用多项式的运算法则判断真假即可详解:逐一考查的说法:对于时,不成立;对于向量的运算满足完全平方公式,故对;对于,例如=i,z2=1满足,但,故错.故选B.点睛:在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误12.已知c为常数和是定义在上的函数,对任意的,存在使得,且,则在集合M上的最大值为A. B. 5C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据的最小值相等可得
9、,由题意得在处有最小值,进而得到,故得,于是可得函数的解析式,再求出函数在区间上的最大值即可【详解】因为(当且仅当时等号成立),所以,所以,所以,所以,因为在处有最小值,所以,解得,所以,所以,所以在单调递减,在上单调递增,而,所以函数的最大值为故选B【点睛】解答本题的关键是读懂题意,然后结合不等式、函数等知识求解,其中转化思想方法的运用是解题的关键,考查阅读理解和应用能力二、填空题(把答案填在答题卡中的横线上)13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形内角和为180相矛盾,则A=B=90不成立;所以一个三角形中
10、不能有两个直角;假设A,B,C中有两个角是直角,不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为_.【答案】【解析】【分析】利用反证法的定义及解题步骤分析得解.【详解】由反证法证明的步骤知,先反设即,再推出矛盾即,最后作出判断,下结论即,即顺序应为.故答案为【点睛】本题主要考查反证法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于_【答案】【解析】由题得.所以,故填.15.=_.【答案】【解析】【分析】根据被积函数()表示一个半圆,利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数()表示圆心为,半径为2的圆的上半部分,所以.故答案为:.【点睛】本题考
11、查了利用定积分的几何意义来求定积分,在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号,本题属于中档题.16.设函数下列命题:的解集是,的解集是或;是极小值,是极大值;没有最小值,也没有最大值;有最大值,没有最小值其中正确的命题序号为_(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】项,则,解得,若,则,解得或,所以的解集是,的解集是或,故项正确;项,令,得;令,得或,单调减区间为和,单调增区间为,的极小值为,的极大值是故项正确;项,时,恒成立,时,无最小值;又的单调减区间为,单调增区间为,且时,函数有最大值故项错误;项,由可知,正确综上所述,正确的命题序号是三、解答题(解答题应写出文宇说明证
12、明过程或演算步骤)17.当实数取什么值时,复数是:(1)实数;(2)纯虚数【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】(1)复数为实数,则其虚部为0,且实部中数据有意义,则可求得结果;(2)复数为纯虚数,则实部为0,且虚部不为0,处理关于的一元二次方程即可得结果.【详解】(1)复数是实数或;(2)复数是纯虚数【点睛】本题考查了复数的基础概念,对数的真数大于零,依据复数基础概念,求解复数中的参数的值,要求学生能求解一元二次方程等等,为容易题.18.已知复数,若存在实数,使成立(1)求证:定值;(2)若,求的取值范围【答案】(1)详见解析;(2)【解析】【分析】(1)直接将代入后面代数式中,运算后进
13、行系数对比即可证得结果;(2)同样的待定系数法,结合第一问的结论,换元求出的范围,再将用来表示,即可求出的范围.【详解】(1)复数,且存在实数使成立,即为定值(2)由(1)有,整理得,的取值范围为.【点睛】本题考查复数中参数的取值范围问题,利用待定系数法处理关于复数的模的问题,要求学生能处理相关复数与已知参数范围,求相关二次函数的值域,为难度中等偏下.19.用数学归纳法证明:【答案】详见解析【解析】【分析】用数学归纳法进行证明,先证明当时,等式成立再假设当时等式成立,进而证明当时,等式也成立.【详解】当时,左边右边,等式成立假设当时等式成立,即当时,左边当时,等式也成立综合,等式对所有正整数都
14、成立【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集相关的性质,其步骤为:设是关于自然数的命题,(1)奠基在时成立;(2)归纳在为任意自然数成立的假设下可以推出成立,则对一切自然数都成立20.已知函数,求:(1)函数的图象在点处的切线方程;(2)的单调区间及极值【答案】(1);(2)减区间为,增区间为;极小值为,极大值为25【解析】【分析】(1)先求出,再对函数求导,将代入,求出,利用切线公式即可写出切线方程,;(2)由(1)中的导函数可知,令,求出单减区间,;令,求出单增区间,进而求出的极值.【详解】(1)显然由题意有,由点斜式可知,切线方程为:;(2)由(1)有时,或时,的单减区间为,;单增区
15、间为在处取得极小值,在处取得极大值.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程,利用导数处理函数的单调区间和极值,要求学生会求解基本初等函数的导函数,会处理理函数的极大值极小值,为容易题.函数在点处的切线方程为:.21.已知函数(1)若是的一个极值点,求的值;(2)讨论的单调区间;(3)当时,求函数在的最大值【答案】(1);(2)分类讨论,详见解析(3)分类讨论,详见解析【解析】【分析】(1)对进行求导,将代入,令,得;(2)对导函数进行因式分解得到,故而结合函数定义域,分别对和来讨论函数的单调区间;(3)结合第二问结论,对导函数的零根进行讨论,分别讨论,时函数在的最大值即可.【详解】(1)是
16、的一个极值点,经检验满足题意(2)的定义域为时,在上单调递增若,则由得,当时,当时,在上单调递增,在上单调递减(3)由(2)知 ,在单调递增,在单调递减即时单调递增当时,有最大值即在单调递增,在单调递减当时,有最大值当即时,在单调递减,当时,有最大值【点睛】本题考查了函数的导数相关知识,运用导数,已知函数极值,求解参数的值,讨论含参数的函数的单调区间,以及利用导数求解含参函数在已知区间上的最大值,需要学生具备分类讨论的思想,有基本的函数运算能力,为中等难度题目.22.已知函数(1)若函数有两个零点,求的取值范围;(2)证明:当时,关于的不等式在上恒成立【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1
17、)可得m=lnx-x令g(x)=lnx-x,可得g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,则mg(1)=-1即可,(2)f(x)+(x-2)ex0,可得m(x-2)ex+lnx-x设h(x)=(x-2)ex+lnx-x,x,利用导数求h(x)的最值即可得解.【详解】(1)令,;令, 令,解得,令,解得, 则函数在上单点递增,在上单点递减,要使函数有两个零点,则函数的图像与有两个不同的交点则,即实数的取值范围为 (2),;设,; 设,则在上单调递增. 又,.,使得,即,. 当时,;当时,; 在上单调递增,在上单调递减. .设,.当时,恒成立,则在上单调递增,即当时,. 当时,关于的不等式在上恒成立.【点睛】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,属于中档题