1、吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二数学4月月考试题 理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，求得，进而求得其共轭复数，利用复数在复平面内对应点的坐标，求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以复数对应的点的坐标为，故选D.【点睛】该题考查是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，复数在复平面内对应点点的坐标，属于简单题目.2.已知函数f（x）x2ax3在（0，1）上为减函数，函数g（x）x2aln x
2、在（1，2）上为增函数，则a的值等于（ ）A. 1B. 2C. 0D. 【答案】B【解析】试题分析：函数f（x）x2ax3在（0，1）上为减函数，所以，即，函数g（x）x2aln x在（1，2）上为增函数，即，当，即恒成立，即，所以同时满足两个条件的，故选考点：1导数的基本应用；2函数的性质3.过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为( )A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】分析】求出y=，设P（x0，），由在点P处的切线斜率为4，利用导数的几何意义得到=4，由此能求出点P的坐标【详解】曲线y=，y=，设P（x0，），在点P处的切线斜率为4，=4，解得或，点P的坐标是（，2）或
3、（，2）故选B【点睛】本题考查点的坐标的求法，涉及到导数、切线、导数的几何意义关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题4.下列函数中，是其极值点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对A，B，C，D里面四个选项中的函数进行求导，分析左右两边导函数的正负情况即可求出结果.【详解】A选项中为三次函数，无极值点；B选项中，显然当时，单调递增，当时，单调递减，是其极值点；C选项中，显然不是其极值点；D选项中，也不是其极值点.故选：B【点睛】本题考查学生对运用导数求解基本函数的极值点的能力，要求学生会求基本初等函数的导函数，能够分析
4、哪些点是函数的极值点，属于容易题.5.用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）A. 项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】【分析】分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.6.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31A. 811B. 809C. 807D. 80
5、5【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是故选B7.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，函数在（0，1）内有极小值，则其有一根在（0，1）内，a0时，3x2-2a=0两根为，若有一根在（0，1）内，则01，即0aa=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值a0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0a考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法8.函数的图象大致为（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数 ，可得，当时，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象9.如图，由曲线，直线和x轴围成的封闭图形的面积是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：画出，直线和轴围成的封闭图形
7、，然后利用定积分表示区域面积，然后利用定积分的定义进行求解即可详解：由曲线，直线 和轴围成的封闭图形的面积为：，故选D点睛：本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题 10.已知函数是函数的导函数，对任意实数都有，设则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对任意实数都有，即在上为单调减函数又不等式等价于不等式解集为故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等.11.给出下面三个类比结论：向量，有类比有
8、复数，有；实数有；类比有向量，有；实数有，则；类比复数，有，则.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：对3个命题，通过反例判断命题的真假，利用多项式的运算法则判断真假即可详解：逐一考查的说法：对于时，不成立；对于向量的运算满足完全平方公式，故对；对于,例如=i，z2=1满足，但，故错.故选B.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误12.已知c为常数和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，且，则在集合M上的最大值为A. B. 5C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据的最小值相等可得
9、，由题意得在处有最小值，进而得到，故得，于是可得函数的解析式，再求出函数在区间上的最大值即可【详解】因为（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以，所以，因为在处有最小值，所以，解得，所以，所以，所以在单调递减，在上单调递增，而，所以函数的最大值为故选B【点睛】解答本题的关键是读懂题意，然后结合不等式、函数等知识求解，其中转化思想方法的运用是解题的关键，考查阅读理解和应用能力二、填空题（把答案填在答题卡中的横线上）13.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：A+B+C=90+90+C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A=B=90不成立；所以一个三角形中
10、不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为_.【答案】【解析】【分析】利用反证法的定义及解题步骤分析得解.【详解】由反证法证明的步骤知，先反设即，再推出矛盾即，最后作出判断，下结论即，即顺序应为.故答案为【点睛】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于_【答案】【解析】由题得.所以，故填.15.=_.【答案】【解析】【分析】根据被积函数（）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数（）表示圆心为，半径为2的圆的上半部分，所以.故答案为：.【点睛】本题考
11、查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.16.设函数下列命题：的解集是，的解集是或；是极小值，是极大值；没有最小值，也没有最大值；有最大值，没有最小值其中正确的命题序号为_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】项，则，解得，若，则，解得或，所以的解集是，的解集是或，故项正确；项，令，得；令，得或，单调减区间为和，单调增区间为，的极小值为，的极大值是故项正确；项，时，恒成立，时，无最小值；又的单调减区间为，单调增区间为，且时，函数有最大值故项错误；项，由可知，正确综上所述，正确的命题序号是三、解答题（解答题应写出文宇说明证
12、明过程或演算步骤）17.当实数取什么值时，复数是：（1）实数；（2）纯虚数【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）复数为实数，则其虚部为0，且实部中数据有意义，则可求得结果；（2）复数为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，处理关于的一元二次方程即可得结果.【详解】（1）复数是实数或；（2）复数是纯虚数【点睛】本题考查了复数的基础概念，对数的真数大于零，依据复数基础概念，求解复数中的参数的值，要求学生能求解一元二次方程等等，为容易题.18.已知复数，若存在实数，使成立（1）求证：定值；（2）若，求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）直接将代入后面代数式中，运算后进
13、行系数对比即可证得结果；（2）同样的待定系数法，结合第一问的结论，换元求出的范围，再将用来表示，即可求出的范围.【详解】（1）复数，且存在实数使成立，即为定值（2）由（1）有，整理得，的取值范围为.【点睛】本题考查复数中参数的取值范围问题，利用待定系数法处理关于复数的模的问题，要求学生能处理相关复数与已知参数范围，求相关二次函数的值域，为难度中等偏下.19.用数学归纳法证明：【答案】详见解析【解析】【分析】用数学归纳法进行证明，先证明当时，等式成立再假设当时等式成立，进而证明当时，等式也成立.【详解】当时，左边右边，等式成立假设当时等式成立，即当时，左边当时，等式也成立综合，等式对所有正整数都
14、成立【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，（1）奠基在时成立；（2）归纳在为任意自然数成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立20.已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调区间及极值【答案】（1）；（2）减区间为，增区间为；极小值为，极大值为25【解析】【分析】（1）先求出，再对函数求导，将代入，求出，利用切线公式即可写出切线方程，；（2）由（1）中的导函数可知，令，求出单减区间，；令，求出单增区间，进而求出的极值.【详解】（1）显然由题意有，由点斜式可知，切线方程为：；（2）由（1）有时，或时，的单减区间为，；单增区
15、间为在处取得极小值，在处取得极大值.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数处理函数的单调区间和极值，要求学生会求解基本初等函数的导函数，会处理理函数的极大值极小值，为容易题.函数在点处的切线方程为：.21.已知函数（1）若是的一个极值点，求的值；（2）讨论的单调区间；（3）当时，求函数在的最大值【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析（3）分类讨论，详见解析【解析】【分析】（1）对进行求导，将代入，令，得；（2）对导函数进行因式分解得到，故而结合函数定义域，分别对和来讨论函数的单调区间；（3）结合第二问结论，对导函数的零根进行讨论，分别讨论，时函数在的最大值即可.【详解】（1）是
16、的一个极值点，经检验满足题意（2）的定义域为时，在上单调递增若，则由得，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减（3）由（2）知 ，在单调递增，在单调递减即时单调递增当时，有最大值即在单调递增，在单调递减当时，有最大值当即时，在单调递减，当时，有最大值【点睛】本题考查了函数的导数相关知识，运用导数，已知函数极值，求解参数的值，讨论含参数的函数的单调区间，以及利用导数求解含参函数在已知区间上的最大值，需要学生具备分类讨论的思想，有基本的函数运算能力，为中等难度题目.22.已知函数（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1
17、)可得m=lnx-x令g（x）=lnx-x，可得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，则mg（1）=-1即可，（2）f（x）+（x-2）ex0，可得m（x-2）ex+lnx-x设h（x）=（x-2）ex+lnx-x，x，利用导数求h（x）的最值即可得解.【详解】（1）令，；令， 令，解得，令，解得， 则函数在上单点递增，在上单点递减，要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点则，即实数的取值范围为 （2），；设，； 设，则在上单调递增. 又，.，使得，即，. 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减. .设，.当时，恒成立，则在上单调递增，即当时，. 当时，关于的不等式在上恒成立.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题