1、内蒙古鄂尔多斯衡水实验中学2020-2021学年高二数学上学期四调考试试题 理（含解析）时间：120分钟分值：150分一选择题(每小题5分，共12小题，共60分)1. 已知直线，平面满足，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当时，则可知；反之当时，与中的不一定平行，故选A.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面2. 已知直线，若直线同时满足下列条件：与异面；与成定角；与距离为定值；则这样的直线（
2、）A. 唯一确定B. 有两条C. 有四条D. 有无数条【答案】D【解析】【分析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中，且异面，则平面与平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条.故选D. 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3. 若圆关于直线对称，则的值为（ ）A. 5B. 3C. 1D. -1【答案】C【解析】【分析】由圆关于直线对称，得直线过圆心，将圆心坐标代入直
3、线的方程，即可求出结果.【详解】因为圆可化为，所以圆心坐标为；又圆关于直线对称，所以直线过点，因此，解得.故选C【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数的问题，只需由题意得到直线过圆心即可，属于常考题型.4. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解.【详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为，又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为，所以该几何体的左视图的
4、面积为，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.5. 如图，在透明望料制成长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱始终与水面EFGH平行当时，AE+BF是定值其中正确说法（ ）A. B. C. D. 【答案
5、】D【解析】【分析】水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化，而EH不变判断正误；棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；当EAA1时，AE+BF是定值通过水的体积判断即可【详解】解：水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断正确；水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的，而EH不变的，所以面积是改变的，是不正确的；棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1EH，所以结论正确；当EAA1时，AE+BF是定值，水的体积是定值，高
6、不变，所以底面面积不变，所以正确故选D【点睛】本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力6. 如图，在四面体中，、分别是、的中点，若与所成的角的大小为30，则和所成的角的大小为（ ）A. 15B. 75C. 30或60D. 15或75【答案】D【解析】【分析】取中点，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线与所成角为或其补角；根据等腰三角形特点可求得，根据异面直线所成角定义可知即为所求角.【详解】取中点，连接分别为中点 ，异面直线与所成角为 或 或 和所成角为和所成角的大小为或故选【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将
7、两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为，造成丢根的情况出现.7. 如图，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面平面，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题目所给数据，得出，通过证明线面垂直，可得，即是直角三角形的斜边，从而得到就是三棱锥外接球的直径，根据长度可以求出球的表面积.【详解】由条件知，因为平面平面，且交线为，平面， ，平面，所以球的直径为，所以，故选A【点睛】本题考查球的表面积，通过发现直角三角形有公共的斜边，从而得到外接球的直径是关键，是中档题.8. 已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量满足，则.下列
8、正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先判断命题p和q的真假，再逐项判断即可得到正确结果.【详解】命题p中，函数在上是减函数，在上是增函数，函数的最小值为=3，所以命题p是错误的；命题q中，若向量且也满足，但是，所以命题q是错误的由此可判断D为正确选项故选：D.【点睛】本题考查命题的判断和逻辑联结词的应用，正确判断原命题的真假是解题的关键，属中档题.9. 三棱锥中，点在棱上，且，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可【详解】由题得：=故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题10. 在
9、三棱锥中，点分别是的中点，底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先利用三垂线定理作出直线OD与平面PBC所成角，就是取BC中点E，连接PE，则BC平面POE作OFPE于F，连接DF，得到OF平面PBC，然后解三角形求出角即可【详解】ABBC，OAOC，OAOBOC，又OP平面ABCPAPBPC取BC中点E，连接PE，则BC平面POE，BC面PBC，面PBC平面POE，又面PBC平面POE=PE，在面POE中作OFPE于F，连接DF，则OF平面PBCODF是OD与平面PBC所成的角设ABBC1，PA2，在RtPOC中，PO，在RtPOC中
10、，D是PC的中点，PC2，OD1，在RtPOE中，OE，PE，OF，在RtODF中，sinODF故选D【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题11. 已知，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆可转化为，圆心为，则直线方程为，圆心到直线的距离，则，则故选C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距
11、离公式，数形结合的思想，属于中档题12. 已知椭圆的上顶点为，左右两焦点分别为，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得出，可得出，从而可求出椭圆的离心率.【详解】设椭圆的焦距为，由于为等边三角形，则，由题意可得，因此，椭圆的离心率为.故选：A.二填空题(每小题5分，共4小题，共20分)13. 已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为_个.【答案】12【解析】
12、【分析】利用正五边形和正六边形的顶点个数的总和等于，计算求解.【详解】设中的正五边形的面有个，根据每个顶点由三个面共用可得，解得：.故答案为：1214. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求出当命题为真命题时的范围,其补集即为命题为假命题时的范围【详解】由题,当命题“”为真命题时,即或,则当命题“”为假命题时,故答案为【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题,考查转换思想,考查运算能力15. 已知圆，如果圆的弦的中点坐标是，那么弦所在的直线方程是_【答案】【解析】【分析】先由圆的方程，得到圆心坐标，由弦所在直线垂直圆心与弦中点的连线，求出弦所在的直线的斜率，
13、进而可求出结果.【详解】由得，所以圆的圆心为，因为圆的弦的中点坐标是，所以弦所在直线垂直圆心与弦中点的连线，则，所以，因此弦所在的直线方程是，即.故答案为【点睛】本题主要考查求圆的弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程，根据直线与圆位置即可求解，属于常考题型.16. 已知椭圆上的点与两焦点的连线互相垂直，则点的坐标是_.【答案】【解析】【分析】设，满足，且需满足，求点的坐标.【详解】设， ，即， 由可知，.即.所以点的坐标.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的几何性质求点的坐标，意在考查转化与化归，计算求解能力，属于基础题型.三解答题(共6小题，17题10分，1822每题12分，共70分，解答
14、写清步骤)17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出命题等价条件，根据“”是真命题，即可求出实数的取值范围（2）若“”为假命题，“”为真命题，则只有一个为真命题，即可求实数的取值范围【详解】（1）因为,不等式恒成立，所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题所以所求实数的取值范围是 （2）方程表示焦点在轴上的椭圆， “”为假命题，“”为真命题，一个为真命题，一个为假命题，当真假时， 则，此时无解 当假真时，则，此时或 综上所
15、述，实数的取值范围是【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题18. 已知圆.（1）若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线的方程；（2）若点是圆C上的动点，求的取值范围.【答案】（1）或或；（2）【解析】【分析】（1）求出圆心和半径.当切线过原点时，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值.当切线不过原点时，切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值.（2）将问题转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）由方程知圆心为，半径为， 当切线过原点时，设切线方程为，则，即切线方程为. 当切线不
16、过原点时，设切线方程为，则，或，即切线方程为或.切线方程为或或.（2）由题意可知，直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离.即，即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查直线和圆位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，是的中点.（1）证明：；（2）若，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明平面，从而得出；（2）证明出平面，可得出、两两垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后计算出平面、的法向量，利用空间向量法求出二面角平面
17、角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点，联结、，为等边三角形，为的中点，.是的中点，为中点，.，平面，平面，；（2）由（1）知，平面平面，平面平面，平面，平面，则、两两垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、.设平面的法向量为，.由，得，令，得，所以，平面的一个法向量为.设平面法向量为，由，得，取，得，.所以，平面的一个法向量为.则.结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.【点睛】本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.20. 椭圆：，直线过点，
18、交椭圆于两点，且为的中点.（1）求直线的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式，求的值.【详解】（1），点在椭圆里面，设，则，两式相减可得，变形为，点是线段的中点，并且有椭圆对称性可知，由式两边同时除以，可得，设直线的斜率为，解得：，所以直线的方程；（2），可得，化简为，且 解得：【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点、分
19、别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接（）求证：平面；（）若时，求二面角的正弦值；（）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】（）在线段上取一点，使得，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面（）以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值（）令，求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可【详解】（）在线段上取一点，使得，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，0，0，2，2
20、，0，1，0，设平面的一个法向量为，令，设平面的一个法向量为，令，二面角的正弦值为（）令，设平面的一个法向量为，令，由题意可得：，【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力22. 已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为.（1）求的值和椭圆C的方程；（2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点.若，求直线的方程；设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1），；（2）；是定值，为.【解析】【分析】（1）由圆与椭圆相交于点M得
21、，又因为椭圆的离心率为和可得答案；（2）设直线的方程为分别与圆、椭圆的方程联立，可求得坐标，由可得；利用中坐标得，化简可得答案.【详解】（1）因为圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，所以，又因为椭圆的离心率为，所以，所以，椭圆.（2）因为过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点，因为所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得，所以，同理得，所以，因为，所以，又，所以，即直线的方程为.是定值，理由如下，由知，所以为定值.【点睛】本题考查了椭圆的简单集合性质，椭圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系，（2）中的关键点是圆的方程与直线方程、椭圆方程与直线方程联立得出坐标，再结合已知条件可得答案.
