1、3.3几何概型3.3.1几何概型课后篇巩固提升1.下列概率模型中,几何概型的个数为()从区间-10,10内任取出一个数,求取到1的概率;从区间-10,10内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;从区间-10,10内任取出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm的概率.A.1B.2C.3D.4解析不是几何概型,虽然区间-10,10有无限多个点,但“1”只是一个数字,不能构成区域长度;是几何概型,因为区间-10,10和-1,1上有无限多个数可取(满足无限性),且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性
2、);不是几何概型,因为区间-10,10上的整数只有21个(是有限的),不满足无限性特征;是几何概型,因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点,且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到,故满足无限性和等可能性.答案B2.在长为10 cm的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36 cm2到64 cm2之间的概率是()A.925B.1625C.310D.15解析以AG为半径作圆,面积介于36cm2到64cm2之间,则AG的长度应介于6cm到8cm之间.所求概率为210=15.答案D3.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度
3、大于1的概率为()A.15B.23C.13D.12解析把该周长是3的圆三等分(点A作为其中一个等分点),每一段劣弧的长度都是1,要使劣弧AB的长度大于1,则点B只能在与点A相对的那段劣弧上(两个端点除外),根据几何概型的概率计算公式知,所求的概率是13.答案C4.球O与棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切,如图,用平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2-A1B1C1D1,得到截面A2B2C2D2,且A2A=34a,现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆,则黄豆落在截面中的圆内的概率为()A.34B.316C.4D.316解析由题意知,截面中的圆的半径为a22-a42=
4、34a,面积为316a2,又截面A2B2C2D2的面积为a2,黄豆落在截面中的圆内的概率为316.故选B.答案B5.纹样是中国艺术宝库的瑰宝,火纹是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1 000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是()A.2B.3C.10D.15解析易知边长为5的正方形的面积S正方形=55=25,设阴影部分的面积为S阴,向该正方形内随机投掷1000个点,恰有400个点落在阴影部分,S阴S正方形4001000,解得S阴4001000S正方形=400100025=1
5、0,估计阴影部分的面积是10.答案C6.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流.此人不小心把一件物品丢在了途中,若掉在河里就找不到,否则就能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽为.解析由几何概型的概率计算公式得500-x500=45,解得x=100.答案100 m7.如图,在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底长分别为13a与12a,高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为.解析直接套用几何概型的概率公式.S矩形=ab,S梯形=1213a+12ab=512ab,所以所投的点落在梯形内部的概率为S梯形S矩形=512abab=5
6、12.答案5128.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形内的概率为15,则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为.解析由题意不妨设大正方形面积为5,小正方形面积为1,大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,四个全等的直角三角形的斜边长是5,较短的直角边的长是1可设较短的直角边的长为x,则x(1+x)2=1,x=1,则较长的直角边的长是2,故sin=25=255.答案2559.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是43 cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上,求硬币
7、落下后与格线没有公共点的概率.解记A=硬币落下后与格线没有公共点,如图,在边长为43cm的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形ABC的边长为43-23=23,由几何概率公式得:P(A)=34(23)234(43)2=14.10.两人约定在20时到21时之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.解设两人分别于(20+x)时和(20+y)时到达约定地点,要使两人能在约定时间范围内相见,则有-23x-y23.(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示,满足两人在约定的时间范围内相见的(x,y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小,即所求概率为S阴影S单位正方形=1-21213212=89.
