1、第一讲 坐标系与参数方程(选修 44)年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系T221.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义T22卷参数方程与直角坐标方程的互化T222017卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T
2、22卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T222016卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T23卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值T23极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第 75 页悟通方法结论1圆的极坐标方程若圆心为 M(0，0)，半径为 r，则圆的方程为：220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r：r；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：2acos；(3)当圆心位于 Ma，2，半径为 a：2asin.2直线
3、的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0 和 0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 Mb，2 且平行于极轴：sin b.全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程解析：(1)由 xcos，ysin 得 C2
4、 的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k43或 k0.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当
5、 k43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k0 或 k43.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k43时，l2 与 C2 没有公共点综上，所求 C1 的方程为 y43|x|2.2(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹C2 的直角坐标方程；(2)设
6、点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值解析：(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4cos.由|OM|OP|16 得 C2 的极坐标方程 4cos(0)因此 C2 的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 面积S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.3(2018长春二模)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为
7、极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos3 1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解析：(1)cos3 1，cos cos 3sin sin31.又xcos，ysin，12x 32 y1，即曲线 C 的直角坐标方程为 x 3y20，令 y0，则 x2；令 x0，则 y2 33.M(2,0)，N0，2 33.M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为2 33，2.(2)M，N 连线的中点 P 的直角坐标为1，33，P 的极角为 6，直线
8、OP 的极坐标方程为 6(R)1.极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos，sin，2 的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin()或 cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos，将 y 换成 sin，即可得到其极坐标方程2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标参数方程授课提示：对应学生用书第 76 页悟通方法结论
9、几种常见曲线的参数方程(1)圆以 O(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是xarcos，ybrsin，其中 是参数当圆心在(0,0)时，方程为xrcos，yrsin，其中 是参数(2)椭圆椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程是xacos，ybsin，其中 是参数椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，yasin，其中 是参数(3)直线经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是xx0tcos，yy0tsin，其中 t 是参数全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos，y4sin(为参数)，直线 l 的参
10、数方程为x1tcos，y2tsin(t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161.当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin)t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20.又由得 t1t242cos sin 1
11、3cos2，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.2(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.解析：(1)曲线 C 的普通方程为x29y21.当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.由x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，2125，2425.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya4
12、0，故 C 上的点(3cos，sin)到 l 的距离为d|3cos 4sin a4|17.当 a4 时，d 的最大值为a917.由题设得a917 17，解得 a8；当 a4 时，d 的最大值为a117.由题设得a117 17，解得 a16.综上，a8 或 a16.3(2018惠州模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是x1tcos ytsin(t为参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|14，求直线 l 的倾斜角 的值
13、解析：(1)由 4cos 得 24cos.x2y22，xcos，ysin，曲线 C 的直角坐标方程为 x2y24x0，即(x2)2y24.(2)将x1tcos ytsin 代入曲线 C 的方程得(tcos 1)2(tsin)24，化简得 t22tcos 30.设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则t1t22cos t1t23.|AB|t1t2|t1t224t1t2 4cos212 14，4cos22，cos 22，4或34.1有关参数方程问题的 2 个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义
14、2利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin，(t 为参数)若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t22；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书第 77 页(2017高考全国卷)(10 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为x2t，ykt(t 为参数)，直线 l2
15、的参数方程为x2m，ymk(m 为参数)设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos sin)20，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径规范解答(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：yk(x2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y1k(x2)(2 分)设 P(x，y)，由题设得ykx2，y1kx2，消去 k 得 x2y24(y0)所以 C 的普通方程为 x2y24(y0)(4 分)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(02，
16、)联立2cos2sin24，cos sin 20(6 分)得 cos sin 2(cos sin)故 tan 13，从而 cos2 910，sin2 110.(8 分)代入 2(cos2sin2)4 得 25，所以交点 M 的极径为 5.(10 分)解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件练通即学即用1(2018惠州模拟)已知曲线 C：x2cos，y 3sin(为参数
17、)和定点 A(0，3)，F1，F2 是此曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 AF2 的极坐标方程；(2)经过点 F1 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交曲线 C 于 M，N 两点，求|MF1|NF1|的值解析：(1)曲线 C：x2cos，y 3sin 可化为x24y231，故曲线 C 为椭圆，则焦点 F1(1,0)，F2(1,0)所以经过点 A(0，3)和 F2(1,0)的直线 AF2 的方程为 x y31，即 3xy 30，所以直线 AF2 的极坐标方程为 3cos sin 3.(2)由(1)知，直线 AF2 的斜率为 3，因为 lAF2
18、，所以直线 l 的斜率为 33，即倾斜角为 30，所以直线 l 的参数方程为x1 32 t，y12t(t 为参数)，代入椭圆 C 的方程中，得 13t212 3t360.因为点 M，N 在点 F1 的两侧，所以|MF1|NF1|t1t2|12 313.2 (2018 长 郡 中 学 模 拟)在 直 角 坐 标 系 中，已 知 曲 线 M 的 参 数 方 程 为x12 2cos，y12 2sin(为参数)，在极坐标系中，直线 l1 的方程为 1，直线 l2 的方程为 22.(1)写出曲线 M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设 l1 与曲线 M 交于 A，C 两点，l2 与曲线 M 交于
19、B，D 两点，求四边形 ABCD 面积的取值范围解析：(1)由x12 2 cos，y12 2 sin，(为参数)，消去参数，得曲线 M 的普通方程为(x1)2(y1)28，曲线 M 是以(1,1)为圆心，2 2为半径的圆(2)设|OA|1，|OC|2，O，A，C 三点共线，则|AC|12|122412(*)，将曲线 M 的方程化成极坐标方程，得 22(sin cos)60，122sin cos，126，代入(*)式得|AC|284sin 2.用 2代替，得|BD|284 sin 2，又 l1l2，S 四边形 ABCD12|AC|BD|，S 四边形 ABCD12 284sin 2284 sin
20、22 49sin22，sin220,1，S 四边形 ABCD8 3，14.授课提示：对应学生用书第 159 页1已知曲线 C1 的参数方程为xcos，y1sin (为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin(3)，直线 l 的直角坐标方程为 y 33 x.(1)求曲线 C1 和直线 l 的极坐标方程；(2)已知直线 l 分别与曲线 C1、曲线 C2 相交于异于极点的 A，B 两点，若 A，B 的极径分别为 1，2，求|21|的值解析：(1)曲线 C1 的参数方程为xcos，y1sin (为参数)，其普通方程为 x2(y1)21，极坐标方程
21、为 2sin.直线 l 的直角坐标方程为 y 33 x，故直线 l 的极坐标方程为 6(R)(2)曲线 C1 的极坐标方程为 2sin，直线 l 的极坐标方程为 6，将 6代入 C1 的极坐标方程得 11，将 6代入 C2 的极坐标方程得 24，|21|3.2(2018开封模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为xtcos，ytsin(t 为参数)，圆 C2：(x2)2y24，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程和交点 A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 B(非坐标
22、原点)，求OAB 的最大面积解析：(1)由xtcos，ytsin(t 为参数)得曲线 C1 的普通方程为 yxtan，故曲线 C1 的极坐标方程为(R)将 xcos，ysin 代入(x2)2y24，得 C2 的极坐标方程为 4cos.故交点 A 的坐标为(4cos，)(2)由题意知，B 的极坐标为(2 2，4)SOAB|122 24cos sin(4)|2 2sin(24)2|，故OAB 的最大面积是 2 22.3(2018长春模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直角坐标为(1,2)，点 C 的极坐标为(3，2)，若直线 l 过点 P，且倾斜角
23、为6，圆 C以点 C 为圆心，3 为半径(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|.解析：(1)由题意得直线 l 的参数方程为x1 32 t，y212t(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 6sin.(2)由(1)易知圆 C 的直角坐标方程为 x2(y3)29，把x1 32 t，y212t代入 x2(y3)29，得 t2(31)t70，设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，t1t27，又|PA|t1|，|PB|t2|，|PA|PB|7.4(2018唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x
24、 轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同已知圆 C1 的极坐标方程为 4(cos sin)，P 是 C1 上一动点，点 Q 在射线 OP 上且满足|OQ|12|OP|，点 Q 的轨迹为 C2.(1)求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线 l 的参数方程为x2tcos，ytsin(t 为参数，0)，l 与曲线 C2 有且只有一个公共点，求 的值解析：(1)设点 P，Q 的极坐标分别为(0，)，(，)，则120124(cos sin)2(cos sin)，点 Q 的轨迹 C2 的极坐标方程为 2(cos sin)，两边同乘以，得 22(cos sin)，C2 的直角坐标方程为 x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)将 l 的参数方程代入曲线 C2 的直角坐标方程，得(tcos 1)2(tsin 1)22，即 t22(cos sin)t0，t10，t22(sin cos)，由直线 l 与曲线 C2 有且只有一个公共点，得 sin cos 0，因为 0，所以 4.
