1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第3课时直线与平面垂直的判定【概念认知】1直线与平面垂直(1)定义:如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直,那么称直线a与平面垂直,记作a直线a叫作平面的垂线,平面叫作直线a的垂面垂线和平面的交点称为垂足(2)画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图:2直线与平面垂直的判定定理【自我小测】1直线l平面,直线m,则l与m不可能()A平行 B相交C异面 D垂直【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知,lm,l与m可能相交或异面,但不可能平行2若三条直线OA,
2、OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OAC C平面OBC D平面ABC【解析】选C.因为OAOB,OAOC,OBOCO,OB,OC平面OBC,所以OA平面OBC.3如图,BC是RtBAC的斜边,PA平面ABC,PDBC于点D,则图中直角三角形的个数是()A.3 B5 C6 D8【解析】选D.由PA平面ABC,知PAC,PAD,PAB均为直角三角形,又PDBC,PABC,PAPDP,所以BC平面PAD.所以ADBC,易知ADC,ADB,PDC,PDB均为直角三角形又BAC为直角三角形,所以共有8个直角三角形4空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形
3、的第三边AB的位置关系是_【解析】因为lAC,lBC,且ACBCC,所以l平面ABC,又因为AB平面ABC,所以lAB.答案:垂直5在四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直设PAPBPC3,则点P到平面ABC的距离为_【解析】因为PA,PB,PC两两垂直,而PAPBP,故PC平面PAB,又SPAB33,VCPAB3.又RtPAB中,PAPB3,故AB3,同理ACBC3,故ABC为等边三角形,故SABC(3)2,故VPCABd,其中d为点P到平面ABC的距离,因为VPCABVCPAB,故d,故d.答案:6如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且E
4、F,则下列结论中正确的序号是_ACBE;EF平面ABCD;三棱锥ABEF的体积为定值;AEF的面积与BEF的面积相等【解析】对于,由题意及图形知,AC平面DD1B1B,故可得出ACBE,故正确;对于,由于正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,故有EF平面ABCD,故正确;对于,由几何体的性质及图形知,三角形BEF的面积是定值,A点到平面DD1B1B的距离等于AC的一半,故可得三棱锥ABEF的体积为定值,故正确;对于,由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故AEF的面积与BEF的面积不相等,故错误答案:7如图,PA平面AB
5、CD,底面ABCD为矩形,AEPB于E,AFPC于F.(1)求证:PC平面AEF;(2)设平面AEF交PD于G,求证:AGPD.【证明】(1)因为PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以PABC.又ABBC,PAABA,所以BC平面PAB,因为AE平面PAB,所以AEBC.又AEPB,PBBCB,所以AE平面PBC,因为PC平面PBC,所以AEPC.又因为PCAF,AEAFA,所以PC平面AEF.(2)由(1)知PC平面AEF,所以PCAG,因为CD平面PAD,AG平面PAD,所以CDAG,PCCDC,所以AG平面PCD,PD平面PCD,所以AGPD.【基础全面练】一、单选题1已知直线a,b和
6、平面,下列推理中错误的是()AabBbCa或aDab【解析】选D.当a,b时,a与b可能平行,也可能相交或异面,即D推理错误2在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则()AAECC1 BAEB1D1CAEBC DAECD【解析】选B.如图所示连接AC,BD,因为ABCD A1B1C1D1是正方体,所以四边形ABCD是正方形,ACBD,CE平面ABCD,所以BDCE,而ACCEC,故BD平面ACE,因为BDB1D1,故B1D1平面ACE,故B1D1AE.3垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直 B相交但不垂直C平行 D不确定【解析】选A.因为梯形两腰所在直线
7、为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直4直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关系是()Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直Cl在平面内 D不能确定【解析】选D.如图所示,直线l和平面相互平行,直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D.5(2021南京高一检测)如图所示,PA平面ABC,ACB90,EFPA,且CE与AB不垂直,则图中直角三角形的个数是()A.3 B4 C5 D6【解析】选D.因为ACB90,所以ACB是直角三角形由PA平面ABC,得PAAB,PAAC,PABC,所以PAB,PAC是直角三角形又BCAC,ACPAA,所以BC平面PAC,
8、所以BCPC,所以PCB是直角三角形因为EFPA,PA平面ABC,所以EF平面ABC,所以EFBE,EFEC,所以BEF,FEC是直角三角形,所以PAB,PAC,ACB,PCB,FEC,BEF均为直角三角形,共6个二、多选题6ABCDA1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是()A.BD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 DAC1BD1【解析】选ABC.在正方体中BDB1D1,可知选项A正确;由BDAC,BDCC1可得BD平面ACC1,从而BDAC1,即选项B正确;由以上可得AC1B1D1,同理AC1D1C,因此AC1平面CB1D1,即选项C正确;由于四边形ABC1D1不是菱形
9、,所以AC1BD1不正确7(2021永州高一检测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA平面ABCD,PAAB,点E为PA的中点,则下列判断正确的是()A.PB与CD所成的角为60BBD平面PACCPC平面BDEDVBCDEVPABCD14【解析】选BCD.对A,因为底面ABCD是正方形,所以ABCD,则PBA即为PB与CD所成的角,因为PA平面ABCD,所以PAAB,因为PAAB,所以PBA45,故A错误;对B,连接AC,因为底面ABCD是正方形,所以BDAC,因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD,因为PAACA,所以BD平面PAC,故B正确;对C,设BDAC
10、O,连接OE,则O是AC中点,又点E为PA的中点,所以PCOE,因为OE平面BDE,PC平面BDE,所以PC平面BDE,故C正确;对D,因为VBCDEVEBCDSBCDEA,VPABCDSABCDPA2SBCD2EA4VBCDE,所以VBCDEVPABCD14,故D正确三、填空题8下列语句中正确的是_.(填序号)ll与相交;m,n,lm,lnl;lm,mn,ln.【解析】正确,由线面垂直的定义可知;不正确,没有明确直线m,n的情况;正确,因为lm,mn,所以ln,又l,所以n.答案:9如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边能判定直线
11、与此平面垂直的有_.【解析】由线面垂直的判定定理可知能判定,而中线面可能平行、相交、还可能线在平面内,中由于正六边形的两边可能平行,所以也无法判定线面垂直答案:四、解答题10如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,ABAC1,AA12,B1A1C190,D为BB1的中点求证:AD平面A1DC1.【证明】因为AA1底面ABC,平面A1B1C1平面ABC,所以AA1平面A1B1C1,显然A1C1平面A1B1C1,所以A1C1AA1.又B1A1C190,所以A1C1A1B1,而A1B1AA1A1,所以A1C1平面AA1B1B,AD平面AA1B1B,所以A1C1AD.由已知计算得
12、AD,A1D,AA12.所以AD2A1D2AA,所以A1DAD.因为A1C1A1DA1,所以AD平面A1DC1.11如图,在四棱锥SABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,ABBC2,CDSD1.求证:SD平面SAB.【证明】因为ABCD,BCCD,ABBC2,CD1,所以底面ABCD为直角梯形,AD.因为侧面SAB为等边三角形,所以SASBAB2.又SD1,所以AD2SA2SD2,所以SDSA.连接BD,则BD,所以BD2SD2SB2,所以SDSB.又SASBS,所以SD平面SAB.【综合突破练】一、选择题1空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A
13、垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BDAO,BDCO,所以BD平面AOC,BDAC,又BD,AC异面,所以选C.2如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()AAGEFH所在平面BAHEFH 所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面【解析】选B.根据折叠前、后AHHE,AHHF不变,所以AH平面EFH,B正确;因为过A只有一条直线与平面EFH垂直,所以A不正确;因为AG
14、EF,EFAH,所以EF平面HAG,所以平面HAG平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,所以C不正确;因为HG不垂直于AG,所以HG平面AEF不正确,D不正确3如图所示是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中BM平面ADE;DEBM;平面BDM平面AFN;AM平面BDE.以上四个命题中,真命题的序号是()A. BC D【解析】选A.把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN,如图1所示;对于,平面BCMF平面ADNE,BM平面BCMF,所以BM平面ADNE,正确;对于,如图2所示,连接AN,则ANBM,又EDAN,所以DEBM,正确;对于,如图2所示,BDFN,BD
15、平面AFN,FN平面AFN,所以BD平面AFN;同理BM平面AFN,且BDBMB,所以平面BDM平面AFN,正确;对于,如图3所示,连接AC,则BDAC,又MC平面ABCD,BD平面ABCD,所以MCBD,又ACMCC,所以BD平面ACM,所以BDAM,同理得EDAM,EDBDD,所以AM平面BDE,所以正确4(多选)在正方体中ABCDA1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,D1D,A1B1的中点,则下列结论正确的是()AAC1EG BGCEDCB1F平面BGC1 DEF和BB1所成角为【解析】选AD.如图,对于A,连接B1D1,A1C1,则A1C1EG,又AA1平面A1B1C1D1
16、,EG平面A1B1C1D1,所以AA1EG,又AA1A1C1A1,所以EG平面AA1C1,又A1C平面AA1C1,所以AC1EG,故A正确;对于B,取B1C1的中点M,连接CM,EM,可得四边形CDEM为平行四边形,所以CMED,又GCCMC,因此GCED不成立,故B错误;对于C,假设B1F平面BGC1,则B1FGC1,连结B1D1,因为D1F平面A1B1C1D1,GC1平面A1B1C1D1,所以D1FGC1,又B1FD1FF,所以GC1平面D1B1F,又D1B1平面D1B1F,所以GC1D1B1,显然不成立,故C错误;对于D,因为D1DB1B,所以D1FE为异面直线EF和BB1所成的角,在等
17、腰直角D1EF中,D1FE,所以异面直线EF和BB1所成的角为,故D正确二、填空题5如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,则四个侧面PAB,PBC,PCD,PAD中,有_个直角三角形【解析】因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAD,所以PAB,PAD为直角三角形,因为BCPA,BCAB,所以BC平面PAB,所以BCPB,所以PBC为直角三角形,同理,PDC为直角三角形,所以四个侧面三角形均为直角三角形答案:46已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是_.【解析】如图所示:连接BC1,B1C交于点O,连接A1O,因为
18、BC1B1C,BC1A1B1,B1CA1B1B1所以BC1平面A1B1O,所以BC1A1O,所以A1O的长度即为所求因为A1B1a,B1Oa,所以A1Oa.答案:a7(2021嘉兴高一检测)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,且SASBSCSD,其中E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:EPAC;EPBD;EP面SBD;EP面SAC,其中恒成立的有_.【解析】因为底面ABCD为正方形,且SASBSCSD,故四棱锥SABCD为正四棱锥,设AC与BD的交点为F,则SF底面ABCD,又AC平面ABCD,故SFAC,又ACBD,SFBDF,故AC
19、平面SBD,又E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,故ENSB.EN平面SBD,SB平面SBD,故EN平面SBD,同理可证EM平面SBD,EMENE,则平面EMN平面SBD,则AC平面EMN,又EP平面EMN,故ACEP,正确;当P与M重合时,才满足EPBD,故错误;由平面EMN平面SBD,EP平面EMN,可得EP面SBD,故正确;由BDAC,BDSF得BD平面SAC,只有当P与M重合时,满足EPBD,EP面SAC,故错误答案:8已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的正方形,PD平面ABCD,PD6,E为棱PD上一点,且ED2PE,过EB作平面分别与线段PA,PC交于点M,N,且AC
20、,则_,四边形EMBN的面积为_.【解析】如图,延伸平面,交平面ABCD于RS,因为B平面平面ABCD,所以BRS,即R,S,B三点共线,又AC,由线面平行的性质可得ACRS,则ARBABR,即ARAB,所以A是RD的中点,过M作MKPD,垂足为K,则在PDA中,在EDR中,所以DADR,即48,解得PK3,所以K是PD中点,则M是PA中点,所以,则,MNAC,因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC,因为BDAC,BDPDD,所以AC平面PBD,所以ACBE,所以MNBE,因为,所以MNAC42,又EB4,所以四边形EMBN的面积为MNEB244.答案:4三、解答题9如图所示,四
21、边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面),C是圆柱底面圆周上异于A,B的任意一点求证:AC平面BB1C.0【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,所以BB1底面ABC.因为AC底面ABC,所以BB1AC.因为AB为底面圆的直径,所以ACB90,所以BCAC.又因为BB1BCB,BB1平面BB1C,BC平面BB1C,所以AC平面BB1C.10如图,ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AEAB2a,CDa,F是BE的中点求证:(1)DF平面ABC.(2)AFBD.【证明】(1)取AB的中点G,连接FG,CG,可得FGAE,FGAE.因为CD平面ABC,AE平面ABC,所以CDAE.又因为CDAE,所以FGCD,FGCD,所以四边形CDFG是平行四边形,所以DFCG,又CG平面ABC,DF平面ABC,所以DF平面ABC.(2)易知CGGF,又CGAB,ABFGG,所以CG平面ABE,所以CGAF,DFCG,所以AFDF,在RtABE中,AFBE,又DFBEF,所以AF平面BDF,所以AFBD.关闭Word文档返回原板块