1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第3课时直线与平面垂直的判定【概念认知】1直线与平面垂直(1)定义：如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面垂直，记作a直线a叫作平面的垂线，平面叫作直线a的垂面垂线和平面的交点称为垂足(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：2直线与平面垂直的判定定理【自我小测】1直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交C异面 D垂直【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知，lm，l与m可能相交或异面，但不可能平行2若三条直线OA，
2、OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OAC C平面OBC D平面ABC【解析】选C.因为OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，所以OA平面OBC.3如图，BC是RtBAC的斜边，PA平面ABC，PDBC于点D，则图中直角三角形的个数是()A.3 B5 C6 D8【解析】选D.由PA平面ABC，知PAC，PAD，PAB均为直角三角形，又PDBC，PABC，PAPDP，所以BC平面PAD.所以ADBC，易知ADC，ADB，PDC，PDB均为直角三角形又BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形4空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形
3、的第三边AB的位置关系是_【解析】因为lAC，lBC，且ACBCC，所以l平面ABC，又因为AB平面ABC，所以lAB.答案：垂直5在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直设PAPBPC3，则点P到平面ABC的距离为_【解析】因为PA，PB，PC两两垂直，而PAPBP，故PC平面PAB，又SPAB33，VCPAB3.又RtPAB中，PAPB3，故AB3，同理ACBC3，故ABC为等边三角形，故SABC(3)2，故VPCABd，其中d为点P到平面ABC的距离，因为VPCABVCPAB，故d，故d.答案：6如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且E
4、F，则下列结论中正确的序号是_ACBE；EF平面ABCD；三棱锥ABEF的体积为定值；AEF的面积与BEF的面积相等【解析】对于，由题意及图形知，AC平面DD1B1B，故可得出ACBE，故正确；对于，由于正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，故正确；对于，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B的距离等于AC的一半，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，故正确；对于，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积不相等，故错误答案：7如图，PA平面AB
5、CD，底面ABCD为矩形，AEPB于E，AFPC于F.(1)求证：PC平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AGPD.【证明】(1)因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB，因为AE平面PAB，所以AEBC.又AEPB，PBBCB，所以AE平面PBC，因为PC平面PBC，所以AEPC.又因为PCAF，AEAFA，所以PC平面AEF.(2)由(1)知PC平面AEF，所以PCAG，因为CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，PCCDC，所以AG平面PCD，PD平面PCD，所以AGPD.【基础全面练】一、单选题1已知直线a，b和
6、平面，下列推理中错误的是()AabBbCa或aDab【解析】选D.当a，b时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误2在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则()AAECC1 BAEB1D1CAEBC DAECD【解析】选B.如图所示连接AC，BD，因为ABCD A1B1C1D1是正方体，所以四边形ABCD是正方形，ACBD，CE平面ABCD，所以BDCE，而ACCEC，故BD平面ACE，因为BDB1D1，故B1D1平面ACE，故B1D1AE.3垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直 B相交但不垂直C平行 D不确定【解析】选A.因为梯形两腰所在直线
7、为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直4直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是()Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直Cl在平面内 D不能确定【解析】选D.如图所示，直线l和平面相互平行，直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D.5(2021南京高一检测)如图所示，PA平面ABC，ACB90，EFPA，且CE与AB不垂直，则图中直角三角形的个数是()A.3 B4 C5 D6【解析】选D.因为ACB90，所以ACB是直角三角形由PA平面ABC，得PAAB，PAAC，PABC，所以PAB，PAC是直角三角形又BCAC，ACPAA，所以BC平面PAC，
8、所以BCPC，所以PCB是直角三角形因为EFPA，PA平面ABC，所以EF平面ABC，所以EFBE，EFEC，所以BEF，FEC是直角三角形，所以PAB，PAC，ACB，PCB，FEC，BEF均为直角三角形，共6个二、多选题6ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是()A.BD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 DAC1BD1【解析】选ABC.在正方体中BDB1D1，可知选项A正确；由BDAC，BDCC1可得BD平面ACC1，从而BDAC1，即选项B正确；由以上可得AC1B1D1，同理AC1D1C，因此AC1平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形
9、，所以AC1BD1不正确7(2021永州高一检测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，PAAB，点E为PA的中点，则下列判断正确的是()A.PB与CD所成的角为60BBD平面PACCPC平面BDEDVBCDEVPABCD14【解析】选BCD.对A，因为底面ABCD是正方形，所以ABCD，则PBA即为PB与CD所成的角，因为PA平面ABCD，所以PAAB，因为PAAB，所以PBA45，故A错误；对B，连接AC，因为底面ABCD是正方形，所以BDAC，因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，因为PAACA，所以BD平面PAC，故B正确；对C，设BDAC
10、O，连接OE，则O是AC中点，又点E为PA的中点，所以PCOE，因为OE平面BDE，PC平面BDE，所以PC平面BDE，故C正确；对D，因为VBCDEVEBCDSBCDEA，VPABCDSABCDPA2SBCD2EA4VBCDE，所以VBCDEVPABCD14，故D正确三、填空题8下列语句中正确的是_.(填序号)ll与相交；m，n，lm，lnl；lm，mn，ln.【解析】正确，由线面垂直的定义可知；不正确，没有明确直线m，n的情况；正确，因为lm，mn，所以ln，又l，所以n.答案：9如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边能判定直线
11、与此平面垂直的有_.【解析】由线面垂直的判定定理可知能判定，而中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，中由于正六边形的两边可能平行，所以也无法判定线面垂直答案：四、解答题10如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1.【证明】因为AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，所以AA1平面A1B1C1，显然A1C1平面A1B1C1，所以A1C1AA1.又B1A1C190，所以A1C1A1B1，而A1B1AA1A1，所以A1C1平面AA1B1B，AD平面AA1B1B，所以A1C1AD.由已知计算得
12、AD，A1D，AA12.所以AD2A1D2AA，所以A1DAD.因为A1C1A1DA1，所以AD平面A1DC1.11如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.求证：SD平面SAB.【证明】因为ABCD，BCCD，ABBC2，CD1，所以底面ABCD为直角梯形，AD.因为侧面SAB为等边三角形，所以SASBAB2.又SD1，所以AD2SA2SD2，所以SDSA.连接BD，则BD，所以BD2SD2SB2，所以SDSB.又SASBS，所以SD平面SAB.【综合突破练】一、选择题1空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A
13、垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，所以BD平面AOC，BDAC，又BD，AC异面，所以选C.2如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAGEFH所在平面BAHEFH 所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面【解析】选B.根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，所以AH平面EFH，B正确；因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG
14、EF，EFAH，所以EF平面HAG，所以平面HAG平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG平面AEF不正确，D不正确3如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中BM平面ADE；DEBM；平面BDM平面AFN；AM平面BDE.以上四个命题中，真命题的序号是()A. BC D【解析】选A.把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN，如图1所示；对于，平面BCMF平面ADNE，BM平面BCMF，所以BM平面ADNE，正确；对于，如图2所示，连接AN，则ANBM，又EDAN，所以DEBM，正确；对于，如图2所示，BDFN，BD
15、平面AFN，FN平面AFN，所以BD平面AFN；同理BM平面AFN，且BDBMB，所以平面BDM平面AFN，正确；对于，如图3所示，连接AC，则BDAC，又MC平面ABCD，BD平面ABCD，所以MCBD，又ACMCC，所以BD平面ACM，所以BDAM，同理得EDAM，EDBDD，所以AM平面BDE，所以正确4(多选)在正方体中ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，则下列结论正确的是()AAC1EG BGCEDCB1F平面BGC1 DEF和BB1所成角为【解析】选AD.如图，对于A，连接B1D1，A1C1，则A1C1EG，又AA1平面A1B1C1D1
16、，EG平面A1B1C1D1，所以AA1EG，又AA1A1C1A1，所以EG平面AA1C1，又A1C平面AA1C1，所以AC1EG，故A正确；对于B，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，所以CMED，又GCCMC，因此GCED不成立，故B错误；对于C，假设B1F平面BGC1，则B1FGC1，连结B1D1，因为D1F平面A1B1C1D1，GC1平面A1B1C1D1，所以D1FGC1，又B1FD1FF，所以GC1平面D1B1F，又D1B1平面D1B1F，所以GC1D1B1，显然不成立，故C错误；对于D，因为D1DB1B，所以D1FE为异面直线EF和BB1所成的角，在等
17、腰直角D1EF中，D1FE，所以异面直线EF和BB1所成的角为，故D正确二、填空题5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，则四个侧面PAB，PBC，PCD，PAD中，有_个直角三角形【解析】因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD，所以PAB，PAD为直角三角形，因为BCPA，BCAB，所以BC平面PAB，所以BCPB，所以PBC为直角三角形，同理，PDC为直角三角形，所以四个侧面三角形均为直角三角形答案：46已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是_.【解析】如图所示：连接BC1，B1C交于点O，连接A1O，因为
18、BC1B1C，BC1A1B1，B1CA1B1B1所以BC1平面A1B1O，所以BC1A1O，所以A1O的长度即为所求因为A1B1a，B1Oa，所以A1Oa.答案：a7(2021嘉兴高一检测)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，且SASBSCSD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP面SBD；EP面SAC，其中恒成立的有_.【解析】因为底面ABCD为正方形，且SASBSCSD，故四棱锥SABCD为正四棱锥，设AC与BD的交点为F，则SF底面ABCD，又AC平面ABCD，故SFAC，又ACBD，SFBDF，故AC
19、平面SBD，又E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，故ENSB.EN平面SBD，SB平面SBD，故EN平面SBD，同理可证EM平面SBD，EMENE，则平面EMN平面SBD，则AC平面EMN，又EP平面EMN，故ACEP，正确；当P与M重合时，才满足EPBD，故错误；由平面EMN平面SBD，EP平面EMN，可得EP面SBD，故正确；由BDAC，BDSF得BD平面SAC，只有当P与M重合时，满足EPBD，EP面SAC，故错误答案：8已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD平面ABCD，PD6，E为棱PD上一点，且ED2PE，过EB作平面分别与线段PA，PC交于点M，N，且AC
20、，则_，四边形EMBN的面积为_.【解析】如图，延伸平面，交平面ABCD于RS，因为B平面平面ABCD，所以BRS，即R，S，B三点共线，又AC，由线面平行的性质可得ACRS，则ARBABR，即ARAB，所以A是RD的中点，过M作MKPD，垂足为K，则在PDA中，在EDR中，所以DADR，即48，解得PK3，所以K是PD中点，则M是PA中点，所以，则，MNAC，因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC，因为BDAC，BDPDD，所以AC平面PBD，所以ACBE，所以MNBE，因为，所以MNAC42，又EB4，所以四边形EMBN的面积为MNEB244.答案：4三、解答题9如图所示，四
21、边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A，B的任意一点求证：AC平面BB1C.0【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，所以BB1底面ABC.因为AC底面ABC，所以BB1AC.因为AB为底面圆的直径，所以ACB90，所以BCAC.又因为BB1BCB，BB1平面BB1C，BC平面BB1C，所以AC平面BB1C.10如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点求证：(1)DF平面ABC.(2)AFBD.【证明】(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FGAE，FGAE.因为CD平面ABC，AE平面ABC，所以CDAE.又因为CDAE，所以FGCD，FGCD，所以四边形CDFG是平行四边形，所以DFCG，又CG平面ABC，DF平面ABC，所以DF平面ABC.(2)易知CGGF，又CGAB，ABFGG，所以CG平面ABE，所以CGAF，DFCG，所以AFDF，在RtABE中，AFBE，又DFBEF，所以AF平面BDF，所以AFBD.关闭Word文档返回原板块