1、第2章 2.6.3 曲线的交点学习目标 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 4 2.6.3 曲线的交点 预习导学 挑战自我，点点落实 知识链接 1.直线与椭圆有几个交点？答：两个交点、一个交点和无交点.2.直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点.5 2.6.3 曲线的交点预习导引 1.两曲线
2、的交点个数与对应的方程组的实数解组数.2.设斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则弦长 P1P2 .相同1k2|x1x2|6 2.6.3 曲线的交点 课堂讲义 重点难点，个个击破 要点一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 k为何值时，直线ykx2和曲线2x23y26有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解 依题意得方程组ykx2，2x23y26，代入整理得(23k2)x212kx60.(12k)246(23k2)24(3k22)，7 2.6.3 曲线的交点当 3k220，即 k 63 或 k 63 时，直线与曲线有两个公共点；当 3k220，即 k 63
3、 时，直线与曲线仅有一个公共点；当 3k220，即 63 k0，即k1时，l与C相交.当1时，l与C相离.(2)当k0时，直线l：y1与曲线C：y24x相交.综上所述，当k1时，l与C相离.11 2.6.3 曲线的交点要点二 弦长问题例 2 顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y10 截得的弦长为 15，求抛物线方程.解 设抛物线方程为x2ay(a0)，由方程组x2ay，x2y10.消去y得：2x2axa0，12 2.6.3 曲线的交点直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a0或a8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2a2，x1x2a2，y1y21
4、2(x1x2)，弦长为 ABx1x22y1y2254x1x2254x1x224x1x2145a28a.13 2.6.3 曲线的交点AB 15，145a28a 15，即a28a480，解得a4或a12.所求抛物线方程为x24y或x212y.14 2.6.3 曲线的交点规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB 1k2|x1 x2|11k2|y1 y2|及 公 式|x1 x2|b24ac|a|较为简单.15 2.6.3 曲线的交点跟踪演练2 已知直线y2xb与曲线xy2相交于A、B两点，若AB5，求实数b的值.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立方程组y2xb，xy2，消去
5、 y，整理得 2x2bx20.x1、x2是关于x的方程的两根，x1x2b2，x1x21.16 2.6.3 曲线的交点又 AB1k2x1x224x1x2，其中 k2，代入则有 AB122b21625，b24，则b2.故所求b的值为2.17 2.6.3 曲线的交点要点三 与弦的中点有关的问题例3 抛物线y28x上有一点P(2,4)，以点P为一个顶点，作抛物线的内接PQR，使得PQR的重心恰好是抛物线的焦点，求QR所在直线的方程.解 抛物线y28x的焦点为F(2,0).F为PQR的重心，QR的中点为M(2，2)，如图所示.18 2.6.3 曲线的交点设Q(x1，y1)、R(x2，y2)，则有 y21
6、8x1，y228x2，得 y21y228(x1x2).又y1y24，19 2.6.3 曲线的交点直线 QR 的斜率为 ky1y2x1x28y1y2 842.QR所在直线的方程为y22(x2)，即2xy20.20 2.6.3 曲线的交点规律方法 本题设出 Q、R 的坐标，得出 y218x1，y228x2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它.21 2.6.3 曲线的交点跟踪演练3 直线l与抛物线y24x交于A、B两点，AB中点坐标为(3,2)，求直线l的方程.解 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 y214x1，y224x2，相减，得(y1y2)
7、(y1y2)4(x1x2)，又因为 y1y24，所以 kABy1y2x1x21.所以直线l的方程为y2x3，即xy10.22 2.6.3 曲线的交点 当堂检测 当堂训练，体验成功 1 2 3 41.以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_.解析 2ac 3c，eca 31.3123 2.6.3 曲线的交点1 2 3 42.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2.过 F1 作倾斜角为 30的直线与椭圆的一个交点 P，且 PF2x轴，则此椭圆的离心率 e 为_.24 2.6.3 曲线
8、的交点1 2 3 4解析 由题意得 PF2b2a，PF12b2a，由椭圆定义得3b2a 2a,3b23a23c22a2，则此椭圆的离心率 e 为 33.答案 3325 2.6.3 曲线的交点1 2 3 43.双曲线的焦点在 y 轴上，且它的一个焦点在直线 5x2y200 上，两焦点关于原点对称，离心率 e53，则此双曲线的方程是_.解析 焦点坐标为(0,10)，故c10，a6，b8.y236x264126 2.6.3 曲线的交点1 2 3 44.抛物线x24y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB_.解析 由抛物线方程x24y得p2，且焦点坐标为(0，1)，故A，B两点的纵坐标都为
9、1，从而AB|y1|y2|p1124.427 2.6.3 曲线的交点课堂小结1.解方程组AxByC0，fx，y0时，若消去 y，得到关于 x 的方程 ax2bxc0，这时，要考虑 a0 和 a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a0，0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个28 2.6.3 曲线的交点交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件).2.求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组AxByC0，fx，y029 2.6.3 曲线的交点消去 y，得 ax2bxc0(a0)，设其两根为 x1，x2，则 P1P21k2|x1 x2|1k2x1x224x1x2 1k2b2a24ca.30 2.6.3 曲线的交点3.求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求).即设 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是圆锥曲线 mx2ny21 上两点，P0(x0，y0)是弦 P1P2 的中点，则由 mx21ny211，mx22ny221 相减，得 m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，从而y1y2x1x2mx0ny0.1 2PPk
